Kalkulator permutacji i kombinacji
Wpisz łączną liczbę elementów n i liczbę wybieranych r, a otrzymasz liczbę permutacji (nPr, kolejność ma znaczenie) i kombinacji (nCr, kolejność pomijana) obok siebie. Każdy wynik pokazuje swój wzór i obliczenie, a krótki poradnik wyjaśnia, którego z nich potrzebuje Twój problem. Za darmo, bez rejestracji.
nPr i nCr
Permutacje — kolejność ma znaczenie (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! redukuje się do iloczynu z 3 górnych czynników:
10 × 9 × 8 = 720
Kombinacje — kolejność pomijana (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — podziel przez 6, czyli liczbę ułożeń każdego wyboru:
720 ÷ 6 = 120
Kiedy kolejność ma znaczenie?
Kolejność ma znaczenie → permutacja (nPr). Kod zamka to klasyczny przykład: w zamku 3-cyfrowym używającym cyfr 1, 2 i 3 kody 1-2-3 i 3-2-1 są różne — te same trzy cyfry w innej kolejności nie otworzą zamka. Podia wyścigowe (1., 2., 3. miejsce), hasła i układy miejsc siedzących działają tak samo.
Kolejność nie ma znaczenia → kombinacja (nCr). Dodatki do pizzy to klasyczny przykład: pizza z pieczarkami, oliwkami i papryką to dokładnie ta sama pizza co ta z papryką, oliwkami i pieczarkami. Komisje, losowania liczb loteryjnych i rozdania kart to również kombinacje.
Dlatego nCr nigdy nie jest większe niż nPr: każdy nieuporządkowany wybór r elementów odpowiada r! różnym uporządkowanym ułożeniom, więc nCr = nPr ÷ r!.
Jak korzystać z kalkulatora permutacji i kombinacji
- 1. Wpisz n. To łączna liczba różnych elementów, z których można wybierać. Kalkulator przyjmuje liczby całkowite od 0 do 170 i startuje od 10.
- 2. Wpisz r. Tyle elementów wybierasz, od 0 do n. Startuje od 3.
- 3. Przeczytaj oba wyniki. nPr liczy uporządkowane ułożenia, a nCr nieuporządkowane wybory. Każda karta pokazuje swój wzór, skrócony iloczyn, do którego redukują się silnie, i odpowiedź.
- 4. Wybierz właściwy. Panel pod wynikiem wyjaśnia, kiedy kolejność ma znaczenie, na przykładach.
Wzory
- Permutacje: nPr = n! ÷ (n − r)!. W praktyce to iloczyn n × (n − 1) × … × (n − r + 1), w sumie r czynników.
- Kombinacje: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. Każdy nieuporządkowany wybór r elementów można ułożyć na r! sposobów, więc dzielenie nPr przez r! usuwa powtórzenia.
- Oba zakładają brak powtórzeń: każdy element można użyć raz. Wybór z powtórzeniami daje nʳ dla wyborów uporządkowanych i (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) dla nieuporządkowanych, czego ten kalkulator nie oblicza.
Wybierz 3 z 10 (wartości początkowe)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 uporządkowanych ułożeń
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 nieuporządkowanych wyborów
Kolejność ma znaczenie czy nie? Cztery przykłady
| Sytuacja | Typ | Liczba |
|---|---|---|
| Złoto, srebro i brąz wśród 8 biegaczy | Permutacja, 8P3 | 336 |
| Komisja z 3 osób wybranych spośród 10 | Kombinacja, 10C3 | 120 |
| Pięciokartowe układy pokerowe z 52 kart | Kombinacja, 52C5 | 2 598 960 |
| Pięć różnych ról w zarządzie z 52 członków | Permutacja, 52P5 | 311 875 200 |
| Sześć liczb wylosowanych z 49 w loterii (kolejność pomijana) | Kombinacja, 49C6 | 13 983 816 |
Każdą nieuporządkowaną grupę 5 osób można ułożyć na 5! = 120 sposobów, dlatego 52P5 ÷ 52C5 = 120. Kod zamka „kombinacja” to w rzeczywistości permutacja, bo 1-2-3 i 3-2-1 otwierają różne zamki.
Ograniczenia
- n jest ograniczone do 170. 170! to około 7 × 10³⁰⁶, największa silnia, jaką mieści zwykła liczba zmiennoprzecinkowa. Powyżej tej granicy obliczenia się przepełniają.
- Duże wyniki są przybliżone. Wyniki poniżej 10¹⁵ pokazywane są jako liczby całkowite. Wyższe pojawiają się w notacji naukowej, a cyfry po około piętnastej nie są dokładne; jeśli potrzebujesz każdej cyfry, użyj narzędzia do dużych liczb całkowitych.
- Identyczne elementy są różne. Ułożenia liter w słowie MISSISSIPPI nie wynoszą 11P11, ponieważ powtarzające się litery są nierozróżnialne. Podziel przez silnię liczby powtórzeń każdej litery.
- r większe niż n jest niedozwolone. Bez powtórzeń nie można wybrać więcej różnych elementów, niż jest ich w zbiorze.
Którego narzędzia potrzebujesz?
| Potrzebujesz | Użyj |
|---|---|
| Liczby uporządkowanych lub nieuporządkowanych wyborów | Ten kalkulator permutacji i kombinacji |
| Prawdopodobieństwa korzystnego wyniku | Kalkulator prawdopodobieństwa |
| Samej silni n! | Factorial Calculator |
| Prawdopodobieństwa k sukcesów w n próbach | Binomial Distribution Calculator |
| Prawdopodobieństwa wylosowania danego zestawu bez zwracania | Hypergeometric Distribution Calculator |
Najczęstsze pytania
- Jaka jest różnica między permutacją a kombinacją?
- Permutacja liczy uporządkowane ułożenia, na przykład kto zajmie pierwsze, drugie i trzecie miejsce. Kombinacja liczy nieuporządkowane wybory, na przykład które trzy osoby zasiądą w komisji. Dla tych samych n i r nPr nigdy nie jest mniejsze niż nCr.
- Jaki jest wzór na nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, co równa się iloczynowi n × (n − 1) × … × (n − r + 1). Dla 10P3 to 10 × 9 × 8 = 720.
- Jaki jest wzór na nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), co równa się nPr ÷ r!. Dla 10C3 to 720 ÷ 6 = 120.
- Jak obliczyć szanse wygranej w loterii?
- Jeśli wybierasz k liczb z n, a kolejność nie ma znaczenia, liczba możliwych kuponów to nCk. Losowanie 6 z 49 daje 49C6 = 13 983 816, więc jeden kupon wygrywa główną nagrodę z prawdopodobieństwem 1 ÷ 13 983 816.
- Dlaczego dane wejściowe są ograniczone do n ≤ 170?
- 170! to największa silnia mieszcząca się w zwykłych liczbach zmiennoprzecinkowych; 171! przepełnia się do nieskończoności. W granicach limitu bardzo duże wyniki są pokazywane w notacji naukowej i są przybliżone od około piętnastu cyfr.
- Czy „kombinacja” zamka to naprawdę kombinacja?
- Nie. Matematycznie jest to permutacja, bo 1-2-3 i 3-2-1 to różne kody. Kolejność ma znaczenie, więc dokładniejszą nazwą byłby „zamek permutacyjny”.