Kalkulator permutacji i kombinacji
Wpisz n (łączna liczba elementów) i r (wybrane elementy), aby obliczyć nPr i nCr obok siebie, z wzorami silni wypracowanymi za pomocą Twoich liczb — oraz prostym wyjaśnieniem, kiedy kolejność ma znaczenie.
nPr i nCr
Permutacje — kolejność ma znaczenie (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! redukuje się do iloczynu górnych 3 czynników:
10 × 9 × 8 = 720
Kombinacje — kolejność pomijana (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — podziel przez 6 ułożeń każdego wyboru:
720 ÷ 6 = 120
Kiedy kolejność ma znaczenie?
Kolejność ma znaczenie → permutacja (nPr). Kod zamka to klasyczny przykład: w zamku 3-cyfrowym używającym cyfr 1, 2 i 3 kody 1-2-3 i 3-2-1 są różne — te same trzy cyfry w innej kolejności nie otworzą zamka. Podia wyścigowe (1., 2., 3. miejsce), hasła i układy siedzeń działają tak samo.
Kolejność nie ma znaczenia → kombinacja (nCr). Dodatki do pizzy to klasyczny przykład: pizza z pieczarkami, oliwkami i papryką to dokładnie ta sama pizza co ta z papryką, oliwkami i pieczarkami. Komisje, losowania liczb loteryjnych i rozdania kart to również kombinacje.
Dlatego nCr nigdy nie jest większe niż nPr: każdy nieuporządkowany wybór r elementów odpowiada r! różnym uporządkowanym ułożeniom, więc nCr = nPr ÷ r!.
Najczęstsze pytania
- Jaka jest różnica między permutacją a kombinacją?
- Permutacja liczy uporządkowane ułożenia — wybór 1., 2. i 3. miejsca to permutacja. Kombinacja liczy nieuporządkowane wybory — wybór 3 osób do komisji to kombinacja. Dla tego samego n i r, nPr jest zawsze co najmniej tak duże jak nCr.
- Jaki jest wzór na nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!. W praktyce jest to iloczyn n × (n − 1) × … × (n − r + 1), co dokładnie tak oblicza ten kalkulator — bez potrzeby pełnych silni.
- Jaki jest wzór na nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Jest to nPr podzielone przez r!, ponieważ każdy nieuporządkowany wybór r elementów można ułożyć na r! różnych sposobów.
- Dlaczego dane wejściowe są ograniczone do n ≤ 170?
- 170! to największa silnia, która mieści się w liczbie zmiennoprzecinkowej JavaScript; 171! przepełnia się do nieskończoności. W ramach limitu bardzo duże wyniki są pokazywane w notacji naukowej.
- Czy „kombinacja” zamka to naprawdę kombinacja?
- Nie — matematycznie jest to permutacja, ponieważ 1-2-3 i 3-2-1 otwierają różne zamki. Kolejność ma znaczenie, więc „zamek permutacyjny” byłby dokładniejszą nazwą.