順列・組み合わせ計算ツール
n（全体の個数）とr（選ぶ個数）を入力すると、nPrとnCrを並べて計算し、あなたの数値を使った階乗の計算式と、順序が関係するのはどんなときかを分かりやすく説明します。
nPrとnCr
順列 — 順序が関係する（10P3）
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! は上位3 個の因数の積に簡約されます：
10 × 9 × 8 = 720
組み合わせ — 順序を無視（10C3）
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — 各選択の6 通りの並び方で割ります：
720 ÷ 6 = 120
順序が関係するのはどんなときですか？
順序が関係する → 順列（nPr）。 錠前の暗証番号が典型例です：1、2、3の数字を使った3桁の錠前では、1-2-3と3-2-1は異なるコードです — 同じ3つの数字でも順序が違えば錠は開きません。表彰台（1位、2位、3位）、パスワード、席順もすべて同じ考え方です。
順序が関係しない → 組み合わせ（nCr）。 ピザのトッピングが典型例です：きのこ、オリーブ、ピーマンをのせたピザは、ピーマン、オリーブ、きのこをのせたピザとまったく同じピザです。委員会、宝くじの番号選び、トランプの手札も組み合わせです。
だからこそnCrは決してnPrより大きくなりません：r個のアイテムの順序のない選び方はそれぞれ、r!通りの異なる順序の並べ方に対応するため、nCr = nPr ÷ r! となります。
よくある質問
- 順列と組み合わせの違いは何ですか？
- 順列は順序のある並び方を数えます — 1位、2位、3位を選ぶのは順列です。組み合わせは順序のない選び方を数えます — 委員会に3人を選ぶのは組み合わせです。同じnとrに対して、nPrは常にnCr以上になります。
- nPrの公式は何ですか？
- nPr = n! ÷ (n − r)! です。実際には n × (n − 1) × … × (n − r + 1) という積になり、これはまさにこの計算ツールが — 完全な階乗を必要とせずに — 計算する方法です。
- nCrの公式は何ですか？
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) です。これはnPrをr!で割った値に等しくなります。r個のアイテムの順序のない選び方はそれぞれ、r!通りの異なる順序で並べられるからです。
- 入力がn ≤ 170に制限されているのはなぜですか？
- 170!はJavaScriptの浮動小数点数に収まる最大の階乗です。171!はオーバーフローして無限大になります。この範囲内でも、非常に大きな結果は科学的記数法で表示されます。
- 錠前の「組み合わせ（combination）」は本当に組み合わせなのですか？
- いいえ — 数学的には順列です。なぜなら1-2-3と3-2-1は異なる錠前を開けるからです。順序が関係するため、「順列ロック（permutation lock）」の方が正確な名称でしょう。