順列・組み合わせ計算ツール
n（全体の個数）とr（選ぶ個数）を入力すると、順列（nPr、順序が関係する）と組み合わせ（nCr、順序は無視）を並べて計算します。各結果には計算式と計算過程が表示され、どちらの問題に当てはまるかを短いガイドで説明します。無料、登録不要。
nPrとnCr
順列 — 順序が関係する（10P3）
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! は、上位3個の因数の積に約分されます：
10 × 9 × 8 = 720
組み合わせ — 順序は無視（10C3）
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — 各選択の6通りの並べ方で割ります：
720 ÷ 6 = 120
順序が関係するのはどんなときですか？
順序が関係する → 順列（nPr）。 錠前の暗証番号が典型例です：1、2、3の数字を使った3桁の錠前では、1-2-3と3-2-1は異なるコードです — 同じ3つの数字でも順序が違えば錠は開きません。表彰台（1位、2位、3位）、パスワード、席順もすべて同じ考え方です。
順序が関係しない → 組み合わせ（nCr）。 ピザのトッピングが典型例です：きのこ、オリーブ、ピーマンをのせたピザは、ピーマン、オリーブ、きのこをのせたピザとまったく同じピザです。委員会、宝くじの番号選び、トランプの手札も組み合わせです。
だからこそnCrは決してnPrより大きくなりません：r個のアイテムの順序のない選び方はそれぞれ、r!通りの異なる順序の並べ方に対応するため、nCr = nPr ÷ r! となります。
順列・組み合わせ計算ツールの使い方
- 1. nを入力します。 選ぶ元になる、異なるアイテムの総数です。0から170までの整数を受け付け、初期値は10です。
- 2. rを入力します。 選ぶ個数で、0からnまでです。初期値は3です。
- 3. 2つの結果を読みます。 nPrは順序のある並べ方、nCrは順序のない選び方を数えます。各カードには計算式、階乗が約分された積、答えが表示されます。
- 4. どちらを使うかを選びます。 結果の下の欄に、順序が関係する場合の説明と例があります。
計算式
- 順列： nPr = n! ÷ (n − r)!。実際には n × (n − 1) × … × (n − r + 1) という、全部でr個の因数の積です。
- 組み合わせ： nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!。順序のない、r個のアイテムの各選び方は r! 通りに並べられるため、nPrをr!で割ると重複が取り除かれます。
- どちらも重複を認めません： 各アイテムは一度しか使えません。重複を認める順序のある選び方は nʳ、順序のない選び方は (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) で計算しますが、このツールはそれを計算しません。
10個から3個を選ぶ（初期値）
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 通りの順序のある並べ方
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 通りの順序のない選び方
順序が関係するか？ 4つの具体例
| 状況 | 種類 | 件数 |
|---|---|---|
| 8人の走者から金・銀・銅 | 順列、8P3 | 336 |
| 10人から3人を選ぶ委員会 | 組み合わせ、10C3 | 120 |
| トランプ52枚からのポーカーの5枚の手札 | 組み合わせ、52C5 | 2,598,960 |
| 52人のメンバーから5つの異なる役職を埋める | 順列、52P5 | 311,875,200 |
| くじで49個から6個の番号を引く（順序は無視） | 組み合わせ、49C6 | 13,983,816 |
5個のどの順序のないグループも 5! = 120 通りに並べられるため、52P5 ÷ 52C5 = 120 になります。錠前の「組み合わせ」は実際には順列です。1-2-3と3-2-1は異なる錠前を開けるからです。
知っておくべき制限
- nは170までです。 170! は約 7 × 10³⁰⁶ で、通常の浮動小数点数が保持できる最大の階乗です。それを超えると計算がオーバーフローします。
- 大きな答えは近似値です。 10¹⁵未満の結果は整数で表示されます。それより大きい結果は科学的記数法で表示され、15桁を超える桁は正確ではありません。すべての桁が必要な場合は、大きな整数を扱うツールを使ってください。
- 同じアイテムは区別されません。 MISSISSIPPI の文字の並べ方は 11P11 ではありません。同じ文字は区別できないからです。それぞれの繰り返し回数の階乗で割ってください。
- rがnより大きいことは許されません。 重複を認めない場合、手元にあるより多くの異なるアイテムは選べません。
どのツールが必要ですか？
| 必要なもの | 使うツール |
|---|---|
| 順序のある、または順序のない選び方の数 | この順列・組み合わせ計算ツール |
| 好ましい結果が起こる確率 | 確率計算ツール |
| n!そのもの | Factorial Calculator |
| n回の試行でk回成功する確率 | Binomial Distribution Calculator |
| 非復元抽出で特定の組み合わせを引く確率 | Hypergeometric Distribution Calculator |
よくある質問
- 順列と組み合わせの違いは何ですか？
- 順列は順序のある並べ方を数えます。例えば、1位、2位、3位の順位です。組み合わせは順序のない選び方を数えます。例えば、委員会に座る3人です。同じnとrなら、nPrがnCrより小さくなることはありません。
- nPrの公式は何ですか？
- nPr = n! ÷ (n − r)! で、これは積 n × (n − 1) × … × (n − r + 1) に等しくなります。10P3 なら 10 × 9 × 8 = 720 です。
- nCrの公式は何ですか？
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) で、nPr ÷ r! に等しくなります。10C3 なら 720 ÷ 6 = 120 です。
- 宝くじに当たる確率はどのように計算しますか？
- nから順序を無視してk個の数字を選ぶ場合、可能な券の数は nCk です。49個から6個を選ぶ抽せんは 49C6 = 13,983,816 なので、1枚の券が1等に当たる確率は 1 ÷ 13,983,816 です。
- 入力はなぜ n ≤ 170 に制限されているのですか？
- 170! は通常の浮動小数点数に収まる最大の階乗だからです。171! はオーバーフローして無限大になります。上限の内側でも、非常に大きい結果は科学的記数法で表示され、約15桁を超えると近似値になります。
- 錠前の「組み合わせ」は本当に組み合わせですか？
- いいえ。数学的には順列です。1-2-3と3-2-1は異なるコードだからです。順序が重要なので、「順列ロック」の方が正確な名称でしょう。