Calculateur de permutations et combinaisons
Saisissez n (nombre total d'éléments) et r (éléments choisis) pour calculer nPr et nCr côte à côte, avec les formules factorielles détaillées à partir de vos nombres — et une explication simple de l'importance de l'ordre.
nPr et nCr
Permutations — l'ordre compte (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! se simplifie en produit de 3 facteurs (les plus grands) :
10 × 9 × 8 = 720
Combinaisons — l'ordre est ignoré (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — on retire 6 réarrangements de chaque sélection :
720 ÷ 6 = 120
Quand l'ordre compte-t-il ?
L'ordre compte → permutation (nPr). Un code de cadenas est l'exemple classique : sur un cadenas à 3 chiffres utilisant les chiffres 1, 2 et 3, les codes 1-2-3 et 3-2-1 sont différents — les trois mêmes chiffres dans un ordre différent n'ouvriront pas le cadenas. Les podiums de course (1re, 2e, 3e place), les mots de passe et les plans de table fonctionnent tous de la même façon.
L'ordre ne compte pas → combinaison (nCr). Les garnitures de pizza sont l'exemple classique : une pizza avec des champignons, des olives et des poivrons est exactement la même pizza qu'une pizza avec des poivrons, des olives et des champignons. Les comités, les tirages de numéros de loterie et les mains de cartes sont aussi des combinaisons.
C'est pourquoi nCr n'est jamais plus grand que nPr : chaque sélection non ordonnée de r éléments correspond à r! arrangements ordonnés différents, donc nCr = nPr ÷ r!.
Questions fréquentes
- Quelle est la différence entre une permutation et une combinaison ?
- Une permutation compte les arrangements ordonnés — choisir la 1re, la 2e et la 3e place est une permutation. Une combinaison compte les sélections non ordonnées — choisir 3 personnes pour un comité est une combinaison. Pour un même n et un même r, nPr est toujours au moins aussi grand que nCr.
- Quelle est la formule de nPr ?
- nPr = n! ÷ (n − r)!. En pratique, il s'agit du produit n × (n − 1) × … × (n − r + 1), ce qui est exactement la façon dont ce calculateur l'obtient — sans avoir besoin de calculer les factorielles complètes.
- Quelle est la formule de nCr ?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Cela équivaut à nPr divisé par r!, car chaque sélection non ordonnée de r éléments peut être arrangée de r! façons différentes.
- Pourquoi la saisie est-elle limitée à n ≤ 170 ?
- 170! est la plus grande factorielle qui tient dans un nombre à virgule flottante JavaScript ; 171! dépasse la capacité et devient infini. Dans cette limite, les résultats très grands sont affichés en notation scientifique.
- Une « combinaison » de cadenas est-elle vraiment une combinaison ?
- Non — mathématiquement, il s'agit d'une permutation, car 1-2-3 et 3-2-1 ouvrent des cadenas différents. L'ordre compte, donc « cadenas à permutation » serait le nom exact.