Calculateur de permutations et de combinaisons
Saisissez le nombre total d'éléments n et le nombre que vous choisissez r, et obtenez côte à côte le nombre de permutations (nPr, l'ordre compte) et de combinaisons (nCr, l'ordre est ignoré). Chaque résultat montre sa formule et son calcul, et un bref guide explique laquelle correspond à votre problème. Gratuit, sans inscription.
nPr et nCr
Permutations — l'ordre compte (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! se réduit au produit des 3 plus grands facteurs :
10 × 9 × 8 = 720
Combinaisons — l'ordre est ignoré (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — on retire les 6 réarrangements de chaque sélection :
720 ÷ 6 = 120
Quand l'ordre compte-t-il ?
L'ordre compte → permutation (nPr). Un code de cadenas est l'exemple classique : sur un cadenas à 3 chiffres utilisant les chiffres 1, 2 et 3, les codes 1-2-3 et 3-2-1 sont différents — les trois mêmes chiffres dans un ordre différent n'ouvriront pas le cadenas. Les podiums de course (1re, 2e, 3e place), les mots de passe et les plans de table fonctionnent tous de la même façon.
L'ordre ne compte pas → combinaison (nCr). Les garnitures de pizza sont l'exemple classique : une pizza avec des champignons, des olives et des poivrons est exactement la même pizza qu'une pizza avec des poivrons, des olives et des champignons. Les comités, les tirages de numéros de loterie et les mains de cartes sont aussi des combinaisons.
C'est pourquoi nCr n'est jamais plus grand que nPr : chaque sélection non ordonnée de r éléments correspond à r! arrangements ordonnés différents, donc nCr = nPr ÷ r!.
Comment utiliser le calculateur de permutations et de combinaisons
- 1. Saisissez n. C'est le nombre total d'éléments distincts parmi lesquels choisir. Le calculateur accepte les nombres entiers de 0 à 170 et démarre à 10.
- 2. Saisissez r. C'est le nombre d'éléments que vous prenez, de 0 jusqu'à n. Il démarre à 3.
- 3. Lisez les deux résultats. nPr compte les arrangements ordonnés et nCr les sélections non ordonnées. Chaque carte montre sa formule, le produit simplifié auquel les factorielles se réduisent, et la réponse.
- 4. Choisissez le bon. Le panneau sous le résultat explique quand l'ordre compte, avec des exemples.
Les formules
- Permutations : nPr = n! ÷ (n − r)!. En pratique, il s'agit du produit n × (n − 1) × … × (n − r + 1), soit r facteurs au total.
- Combinaisons : nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. Chaque sélection non ordonnée de r éléments peut être arrangée de r! façons ; diviser nPr par r! supprime donc les répétitions.
- Les deux supposent l'absence de répétition : chaque élément ne peut être utilisé qu'une fois. Un choix avec répétition donne nʳ pour les choix ordonnés et (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) pour les choix non ordonnés, que ce calculateur ne calcule pas.
Choisir 3 parmi 10 (les valeurs de départ)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 arrangements ordonnés
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 sélections non ordonnées
L'ordre compte-t-il ? Quatre cas résolus
| Situation | Type | Nombre |
|---|---|---|
| Or, argent et bronze parmi 8 coureurs | Permutation, 8P3 | 336 |
| Un comité de 3 personnes choisies parmi 10 | Combinaison, 10C3 | 120 |
| Mains de poker de cinq cartes parmi 52 | Combinaison, 52C5 | 2 598 960 |
| Cinq rôles de dirigeants différents attribués parmi 52 membres | Permutation, 52P5 | 311 875 200 |
| Six numéros tirés parmi 49 à la loterie (l'ordre est ignoré) | Combinaison, 49C6 | 13 983 816 |
Chaque groupe non ordonné de 5 éléments peut être ordonné de 5! = 120 façons, c'est pourquoi 52P5 ÷ 52C5 = 120. Une « combinaison » de cadenas est en réalité une permutation, car 1-2-3 et 3-2-1 ouvrent des cadenas différents.
Limites à connaître
- n est limité à 170. 170! vaut environ 7 × 10³⁰⁶, la plus grande factorielle qu'un nombre à virgule flottante ordinaire puisse contenir. Au-delà, le calcul déborde.
- Les grands résultats sont approximatifs. Les résultats inférieurs à 10¹⁵ s'affichent en nombres entiers. Au-delà, ils apparaissent en notation scientifique, et les chiffres au-delà d'environ quinze ne sont pas exacts ; utilisez un outil à grands entiers si vous avez besoin de chaque chiffre.
- Les éléments identiques sont différents. Les arrangements des lettres de MISSISSIPPI ne sont pas 11P11, car les lettres répétées sont indiscernables. Divisez plutôt par la factorielle du nombre de répétitions de chaque lettre.
- r plus grand que n n'est pas autorisé. Vous ne pouvez pas choisir plus d'éléments distincts que vous n'en avez sans répétition.
De quel outil avez-vous besoin ?
| Vous voulez | Utilisez |
|---|---|
| Le nombre de sélections ordonnées ou non ordonnées | Ce calculateur de permutations et de combinaisons |
| La probabilité d'un résultat favorable | Calculateur de probabilités |
| n! seul | Calculateur de factorielles |
| La chance d'obtenir k succès en n essais | Calculateur de loi binomiale |
| La chance de tirer un mélange donné sans remise | Calculateur de loi hypergéométrique |
Questions fréquentes
- Quelle est la différence entre une permutation et une combinaison ?
- Une permutation compte les arrangements ordonnés, comme qui termine premier, deuxième et troisième. Une combinaison compte les sélections non ordonnées, comme les trois personnes qui siègent dans un comité. Pour un même n et un même r, nPr n'est jamais inférieur à nCr.
- Quelle est la formule de nPr ?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, soit le produit n × (n − 1) × … × (n − r + 1). Pour 10P3, cela donne 10 × 9 × 8 = 720.
- Quelle est la formule de nCr ?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), égal à nPr ÷ r!. Pour 10C3, cela donne 720 ÷ 6 = 120.
- Comment calculer les chances de gagner à la loterie ?
- Si vous choisissez k numéros parmi n et que l'ordre ne compte pas, le nombre de billets possibles est nCk. Un tirage de 6 numéros parmi 49 donne 49C6 = 13 983 816 ; un billet gagne donc le gros lot avec une probabilité de 1 ÷ 13 983 816.
- Pourquoi la saisie est-elle limitée à n ≤ 170 ?
- 170! est la plus grande factorielle qui tient dans les nombres à virgule flottante ordinaires ; 171! déborde jusqu'à l'infini. Dans cette limite, les résultats très grands sont affichés en notation scientifique et sont approximatifs au-delà d'environ quinze chiffres.
- Une « combinaison » de cadenas est-elle vraiment une combinaison ?
- Non. Mathématiquement, c'est une permutation, car 1-2-3 et 3-2-1 sont deux codes différents. L'ordre compte, donc « cadenas à permutation » serait le nom exact.