Calcolatore di Permutazioni e Combinazioni
Inserisci n (elementi totali) e r (elementi scelti) per calcolare nPr e nCr fianco a fianco, con le formule fattoriali svolte usando i tuoi numeri — e una spiegazione semplice di quando l'ordine conta.
nPr e nCr
Permutazioni — l'ordine conta (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! si riduce al prodotto dei primi 3 fattori:
10 × 9 × 8 = 720
Combinazioni — l'ordine è ignorato (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — elimina le 6 disposizioni di ogni selezione:
720 ÷ 6 = 120
Quando conta l'ordine?
L'ordine conta → permutazione (nPr). Un codice di un lucchetto è l'esempio classico: su un lucchetto a 3 cifre che usa le cifre 1, 2 e 3, i codici 1-2-3 e 3-2-1 sono diversi — le stesse tre cifre in un ordine diverso non apriranno il lucchetto. I podi delle gare (1°, 2°, 3°), le password e le disposizioni dei posti a sedere funzionano tutti allo stesso modo.
L'ordine non conta → combinazione (nCr). I condimenti della pizza sono l'esempio classico: una pizza con funghi, olive e peperoni è esattamente la stessa pizza di una con peperoni, olive e funghi. Anche i comitati, le estrazioni dei numeri della lotteria e le mani di carte sono combinazioni.
Ecco perché nCr non è mai maggiore di nPr: ogni selezione non ordinata di r elementi corrisponde a r! disposizioni ordinate diverse, quindi nCr = nPr ÷ r!.
Domande frequenti
- Qual è la differenza tra una permutazione e una combinazione?
- Una permutazione conta le disposizioni ordinate — scegliere 1°, 2° e 3° posto è una permutazione. Una combinazione conta le selezioni non ordinate — scegliere 3 persone per un comitato è una combinazione. Per lo stesso n e r, nPr è sempre almeno grande quanto nCr.
- Qual è la formula per nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!. In pratica è il prodotto n × (n − 1) × … × (n − r + 1), che è esattamente il modo in cui questo calcolatore lo calcola — senza bisogno di fattoriali completi.
- Qual è la formula per nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Equivale a nPr diviso per r!, perché ogni selezione non ordinata di r elementi può essere disposta in r! ordini diversi.
- Perché l'input è limitato a n ≤ 170?
- 170! è il fattoriale più grande che entra in un numero in virgola mobile di JavaScript; 171! va in overflow all'infinito. Entro il limite, i risultati molto grandi sono mostrati in notazione scientifica.
- Una "combinazione" di un lucchetto è davvero una combinazione?
- No — matematicamente è una permutazione, perché 1-2-3 e 3-2-1 aprono lucchetti diversi. L'ordine conta, quindi "lucchetto a permutazione" sarebbe il nome corretto.