Calcolatore di Permutazioni e Combinazioni
Inserisci il numero totale di elementi n e quello scelto r, e ottieni permutazioni (nPr, l'ordine conta) e combinazioni (nCr, l'ordine è ignorato) fianco a fianco. Ogni risultato mostra la formula e il procedimento, e una breve guida spiega quale dei due serve al tuo problema. Gratuito, senza registrazione.
nPr e nCr
Permutazioni — l'ordine conta (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! si riduce al prodotto dei primi 3 fattori:
10 × 9 × 8 = 720
Combinazioni — l'ordine è ignorato (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — elimina le 6 disposizioni di ogni selezione:
720 ÷ 6 = 120
Quando conta l'ordine?
L'ordine conta → permutazione (nPr). Un codice di un lucchetto è l'esempio classico: su un lucchetto a 3 cifre che usa le cifre 1, 2 e 3, i codici 1-2-3 e 3-2-1 sono diversi — le stesse tre cifre in un ordine diverso non apriranno il lucchetto. I podi delle gare (1°, 2°, 3°), le password e le disposizioni dei posti a sedere funzionano tutti allo stesso modo.
L'ordine non conta → combinazione (nCr). I condimenti della pizza sono l'esempio classico: una pizza con funghi, olive e peperoni è esattamente la stessa pizza di una con peperoni, olive e funghi. Anche i comitati, le estrazioni dei numeri della lotteria e le mani di carte sono combinazioni.
Ecco perché nCr non è mai maggiore di nPr: ogni selezione non ordinata di r elementi corrisponde a r! disposizioni ordinate diverse, quindi nCr = nPr ÷ r!.
Come usare il calcolatore di permutazioni e combinazioni
- 1. Inserisci n. È il numero totale di elementi distinti da cui scegliere. Il calcolatore accetta numeri interi da 0 a 170 e parte da 10.
- 2. Inserisci r. È quanti elementi scegli, da 0 fino a n. Parte da 3.
- 3. Leggi entrambi i risultati. nPr conta le disposizioni ordinate e nCr le selezioni non ordinate. Ogni scheda mostra la sua formula, il prodotto ridotto a cui si semplificano i fattoriali e il risultato.
- 4. Scegli quello giusto. Il pannello sotto il risultato spiega quando l'ordine conta, con esempi.
Le formule
- Permutazioni: nPr = n! ÷ (n − r)!. In pratica è il prodotto n × (n − 1) × … × (n − r + 1), con r fattori in tutto.
- Combinazioni: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. Ogni selezione non ordinata di r elementi si può disporre in r! modi, quindi dividere nPr per r! elimina le ripetizioni.
- Entrambe presuppongono nessuna ripetizione: ogni elemento può essere usato una sola volta. Scegliere con ripetizione usa nʳ per le scelte ordinate e (n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) per quelle non ordinate, cosa che questo calcolatore non fa.
Scegli 3 da 10 (i valori iniziali)
10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 disposizioni ordinate
10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 selezioni non ordinate
L'ordine conta o no? Quattro casi svolti
| Situazione | Tipo | Conteggio |
|---|---|---|
| Oro, argento e bronzo tra 8 corridori | Permutazione, 8P3 | 336 |
| Un comitato di 3 persone scelte tra 10 | Combinazione, 10C3 | 120 |
| Mani di poker da cinque carte su 52 | Combinazione, 52C5 | 2.598.960 |
| Cinque ruoli diversi ricoperti tra 52 soci | Permutazione, 52P5 | 311.875.200 |
| Sei numeri estratti da 49 in una lotteria (ordine ignorato) | Combinazione, 49C6 | 13.983.816 |
Ogni gruppo non ordinato di 5 si può ordinare in 5! = 120 modi, ed è per questo che 52P5 ÷ 52C5 = 120. Una «combinazione» di un lucchetto è in realtà una permutazione, perché 1-2-3 e 3-2-1 aprono lucchetti diversi.
Limiti da conoscere
- n è limitato a 170. 170! è circa 7 × 10³⁰⁶, il fattoriale più grande che un normale numero in virgola mobile può contenere. Oltre questo limite l'aritmetica va in overflow.
- I risultati grandi sono approssimati. I risultati sotto 10¹⁵ sono mostrati come numeri interi. Sopra, appaiono in notazione scientifica, e le cifre oltre circa quindici non sono esatte: usa uno strumento per interi grandi se ti servono tutte le cifre.
- Gli elementi identici sono diversi. Le disposizioni delle lettere di MISSISSIPPI non sono 11P11, perché le lettere ripetute sono indistinguibili. Dividi per il fattoriale del numero di ripetizioni di ciascuna.
- r maggiore di n non è ammesso. Non puoi scegliere più elementi distinti di quanti ne hai, senza ripetizione.
Di quale strumento hai bisogno?
| Ti serve | Usa |
|---|---|
| Il numero di selezioni ordinate o non ordinate | Questo calcolatore di permutazioni e combinazioni |
| La probabilità di un esito favorevole | Calcolatore di Probabilità |
| n! da solo | Factorial Calculator |
| La probabilità di k successi in n prove | Binomial Distribution Calculator |
| La probabilità di estrarre una certa combinazione senza reinserimento | Hypergeometric Distribution Calculator |
Domande frequenti
- Qual è la differenza tra una permutazione e una combinazione?
- Una permutazione conta le disposizioni ordinate, come chi arriva primo, secondo e terzo. Una combinazione conta le selezioni non ordinate, come quali tre persone siedono in un comitato. Per lo stesso n e r, nPr non è mai inferiore a nCr.
- Qual è la formula di nPr?
- nPr = n! ÷ (n − r)!, che equivale al prodotto n × (n − 1) × … × (n − r + 1). Per 10P3 è 10 × 9 × 8 = 720.
- Qual è la formula di nCr?
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!), uguale a nPr ÷ r!. Per 10C3 è 720 ÷ 6 = 120.
- Come calcolo le probabilità di vincere a una lotteria?
- Se scegli k numeri tra n e l'ordine non conta, il numero di biglietti possibili è nCk. Un'estrazione di 6 numeri su 49 dà 49C6 = 13.983.816 combinazioni, quindi un biglietto vince il jackpot con probabilità 1 ÷ 13.983.816.
- Perché l'input è limitato a n ≤ 170?
- 170! è il fattoriale più grande che entra in un normale numero in virgola mobile; 171! va in overflow fino a infinito. Entro il limite, i risultati molto grandi sono mostrati in notazione scientifica e sono approssimati oltre circa quindici cifre.
- Una combinazione di un lucchetto è davvero una combinazione?
- No. Matematicamente è una permutazione, perché 1-2-3 e 3-2-1 sono codici diversi. L'ordine conta, quindi «lucchetto a permutazione» sarebbe il nome esatto.