ما درجات الحرية لاختبار F في تحليل التباين؟

في تحليل التباين أحادي الاتجاه ذي k مجموعة وN مشاهدة إجمالًا، تكون df₁ = k − 1 (بين المجموعات) وdf₂ = N − k (داخل المجموعات). وللاختبار الكلي لانحدار بـ p متنبئًا وn حالة، تكون df₁ = p وdf₂ = n − p − 1.

هل اختبار F ذو ذيل واحد أم ذيلين؟

اختبارات F في تحليل التباين والانحدار ذات ذيل أيمن، لأن النسبة الكبيرة وحدها تُعد دليلًا ضد الفرضية الصفرية. أما اختبار تساوي تباينين فهو عادةً ذو طرفين، ويحتاج إلى القيمتين الحرجتين العليا والدنيا معًا.

ماذا لو لم تكن درجات حريتي موجودة في الجدول؟

استخدم مربع البحث للحصول على القيمة الدقيقة، مثل F(.05; 2, 35) = 3.2674. ومع الجدول المطبوع وحده يكون الاختيار المحافظ هو درجات الحرية الأصغر التالية الموجودة في الجدول، فتعطي قيمة حرجة أكبر قليلًا.

كيف يرتبط توزيعا F وt؟

F بدرجة حرية بسط واحدة هو مربع t: F(1, df) = t(df)². ولذلك F(.05; 1, 10) = 4.965 = 2.228²، ولذلك يعطي تحليل التباين لمجموعتين القيمة p نفسها التي يعطيها اختبار t مستقل ذو ذيلين.

لماذا تقترب القيم الحرجة لـ F من 1 عند درجات الحرية الكبيرة؟

عندما تكون الفرضية الصفرية صحيحة يقدّر البسط والمقام التباين نفسه. ومع درجات حرية كثيرة يصبح كلا التقديرين دقيقًا، فتستقر نسبتهما قرب 1؛ وتتقلص القيم الحرجة نحو 1 كلما زادت درجتا الحرية، وتساوي 1 تمامًا عندما تكونان لا نهائيتين.

جدول توزيع F

القيم الحرجة لتوزيع F في تحليل التباين وتحليل الانحدار واختبارات نسبة التباين: درجات حرية البسط 1–10 و12 و15 و20 و24 و30 و40 و60 و120 و∞ مقابل درجات حرية المقام 1–30 و40 و60 و120 و∞، عند α = .10 أو .05 أو .025 أو .01. ابحث عن أي تركيبة بدقة، واطبع نسخة نظيفة. مجاني ودون تسجيل.

الجدول لـ α =

0.100.050.0250.01

درجات حرية البسط (df₁)

درجات حرية المقام (df₂)

مستوى الدلالة (α)

القيمة الحرجة

F = 3.3258

مع درجتي الحرية 5 و10، تقع مساحة قدرها 0.05 فوق 3.3258: ارفض H₀ عندما تكون F ≥ 3.3258.

القيمة الحرجة الدنيا، وتقع تحتها مساحة قدرها 0.05: 0.2112، أي 1 / F(0.05; 10, 5)، لاختبارات الذيلين لنسبة التباين.

الأعمدة تمثل درجات حرية البسط (df₁، وهي بين المجموعات في تحليل التباين)، والصفوف تمثل درجات حرية المقام (df₂، وهي داخل المجموعات). ∞ هي النهاية عندما تنمو درجات الحرية دون حد.

القيم الحرجة لـ F عند α = 0.05 (المساحة إلى اليمين)
df₂	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	∞
	درجات حرية البسط (df₁)
1	161.448	199.500	215.707	224.583	230.162	233.986	236.768	238.883	240.543	241.882	243.906	245.950	248.013	249.052	250.095	251.143	252.196	253.253	254.314
2	18.513	19.000	19.164	19.247	19.296	19.330	19.353	19.371	19.385	19.396	19.413	19.429	19.446	19.454	19.462	19.471	19.479	19.487	19.496
3	10.128	9.552	9.277	9.117	9.013	8.941	8.887	8.845	8.812	8.786	8.745	8.703	8.660	8.639	8.617	8.594	8.572	8.549	8.526
4	7.709	6.944	6.591	6.388	6.256	6.163	6.094	6.041	5.999	5.964	5.912	5.858	5.803	5.774	5.746	5.717	5.688	5.658	5.628
5	6.608	5.786	5.409	5.192	5.050	4.950	4.876	4.818	4.772	4.735	4.678	4.619	4.558	4.527	4.496	4.464	4.431	4.398	4.365
6	5.987	5.143	4.757	4.534	4.387	4.284	4.207	4.147	4.099	4.060	4.000	3.938	3.874	3.841	3.808	3.774	3.740	3.705	3.669
7	5.591	4.737	4.347	4.120	3.972	3.866	3.787	3.726	3.677	3.637	3.575	3.511	3.445	3.410	3.376	3.340	3.304	3.267	3.230
8	5.318	4.459	4.066	3.838	3.687	3.581	3.500	3.438	3.388	3.347	3.284	3.218	3.150	3.115	3.079	3.043	3.005	2.967	2.928
9	5.117	4.256	3.863	3.633	3.482	3.374	3.293	3.230	3.179	3.137	3.073	3.006	2.936	2.900	2.864	2.826	2.787	2.748	2.707
10	4.965	4.103	3.708	3.478	3.326	3.217	3.135	3.072	3.020	2.978	2.913	2.845	2.774	2.737	2.700	2.661	2.621	2.580	2.538
11	4.844	3.982	3.587	3.357	3.204	3.095	3.012	2.948	2.896	2.854	2.788	2.719	2.646	2.609	2.570	2.531	2.490	2.448	2.404
12	4.747	3.885	3.490	3.259	3.106	2.996	2.913	2.849	2.796	2.753	2.687	2.617	2.544	2.505	2.466	2.426	2.384	2.341	2.296
13	4.667	3.806	3.411	3.179	3.025	2.915	2.832	2.767	2.714	2.671	2.604	2.533	2.459	2.420	2.380	2.339	2.297	2.252	2.206
14	4.600	3.739	3.344	3.112	2.958	2.848	2.764	2.699	2.646	2.602	2.534	2.463	2.388	2.349	2.308	2.266	2.223	2.178	2.131
15	4.543	3.682	3.287	3.056	2.901	2.790	2.707	2.641	2.588	2.544	2.475	2.403	2.328	2.288	2.247	2.204	2.160	2.114	2.066
16	4.494	3.634	3.239	3.007	2.852	2.741	2.657	2.591	2.538	2.494	2.425	2.352	2.276	2.235	2.194	2.151	2.106	2.059	2.010
17	4.451	3.592	3.197	2.965	2.810	2.699	2.614	2.548	2.494	2.450	2.381	2.308	2.230	2.190	2.148	2.104	2.058	2.011	1.960
18	4.414	3.555	3.160	2.928	2.773	2.661	2.577	2.510	2.456	2.412	2.342	2.269	2.191	2.150	2.107	2.063	2.017	1.968	1.917
19	4.381	3.522	3.127	2.895	2.740	2.628	2.544	2.477	2.423	2.378	2.308	2.234	2.155	2.114	2.071	2.026	1.980	1.930	1.878
20	4.351	3.493	3.098	2.866	2.711	2.599	2.514	2.447	2.393	2.348	2.278	2.203	2.124	2.082	2.039	1.994	1.946	1.896	1.843
21	4.325	3.467	3.072	2.840	2.685	2.573	2.488	2.420	2.366	2.321	2.250	2.176	2.096	2.054	2.010	1.965	1.916	1.866	1.812
22	4.301	3.443	3.049	2.817	2.661	2.549	2.464	2.397	2.342	2.297	2.226	2.151	2.071	2.028	1.984	1.938	1.889	1.838	1.783
23	4.279	3.422	3.028	2.796	2.640	2.528	2.442	2.375	2.320	2.275	2.204	2.128	2.048	2.005	1.961	1.914	1.865	1.813	1.757
24	4.260	3.403	3.009	2.776	2.621	2.508	2.423	2.355	2.300	2.255	2.183	2.108	2.027	1.984	1.939	1.892	1.842	1.790	1.733
25	4.242	3.385	2.991	2.759	2.603	2.490	2.405	2.337	2.282	2.236	2.165	2.089	2.007	1.964	1.919	1.872	1.822	1.768	1.711
26	4.225	3.369	2.975	2.743	2.587	2.474	2.388	2.321	2.265	2.220	2.148	2.072	1.990	1.946	1.901	1.853	1.803	1.749	1.691
27	4.210	3.354	2.960	2.728	2.572	2.459	2.373	2.305	2.250	2.204	2.132	2.056	1.974	1.930	1.884	1.836	1.785	1.731	1.672
28	4.196	3.340	2.947	2.714	2.558	2.445	2.359	2.291	2.236	2.190	2.118	2.041	1.959	1.915	1.869	1.820	1.769	1.714	1.654
29	4.183	3.328	2.934	2.701	2.545	2.432	2.346	2.278	2.223	2.177	2.104	2.027	1.945	1.901	1.854	1.806	1.754	1.698	1.638
30	4.171	3.316	2.922	2.690	2.534	2.421	2.334	2.266	2.211	2.165	2.092	2.015	1.932	1.887	1.841	1.792	1.740	1.683	1.622
40	4.085	3.232	2.839	2.606	2.449	2.336	2.249	2.180	2.124	2.077	2.003	1.924	1.839	1.793	1.744	1.693	1.637	1.577	1.509
60	4.001	3.150	2.758	2.525	2.368	2.254	2.167	2.097	2.040	1.993	1.917	1.836	1.748	1.700	1.649	1.594	1.534	1.467	1.389
120	3.920	3.072	2.680	2.447	2.290	2.175	2.087	2.016	1.959	1.910	1.834	1.750	1.659	1.608	1.554	1.495	1.429	1.352	1.254
∞	3.841	2.996	2.605	2.372	2.214	2.099	2.010	1.938	1.880	1.831	1.752	1.666	1.571	1.517	1.459	1.394	1.318	1.221	1.000

كيفية استخدام جدول توزيع F

1. اختر α. اختر مستوى الدلالة من أعلى الجدول. ولكل α جدول خاص به، لأن F يعتمد على درجتي حرية في وقت واحد.
2. حدِّد درجتي الحرية. تمتد درجات حرية البسط (df₁) أفقيًا في الأعلى، وتمتد درجات حرية المقام (df₂) عموديًا على الجانب. وفي تحليل التباين أحادي الاتجاه، df₁ = k − 1 لـ k مجموعة، وdf₂ = N − k.
3. اقرأ القيمة الحرجة. إذا كانت إحصاءة F لديك مساوية لهذه القيمة أو أكبر منها، فالنتيجة دالة عند مستوى الدلالة المختار.
4. استخدم البحث لأي حالة أخرى. أي df₁ وdf₂ وα، بما في ذلك درجات الحرية التي يتخطاها الجدول، إضافةً إلى القيمة الحرجة الدنيا لاختبارات التباين ذات الطرفين.

كيف تقرأ جدول F

F هي نسبة تقديرين للتباين، ولذلك تحمل درجتي حرية: df₁ للبسط وdf₂ للمقام. وكل مدخل هو القيمة التي تقع فوقها مساحة قدرها α إلى يمينها. وفي تحليل التباين أحادي الاتجاه الذي يقارن 3 مجموعات بحجم 10 لكل منها، يكون df₁ = 3 − 1 = 2 وdf₂ = 30 − 3 = 27؛ وعند α = .05 يعطي الجدول 3.354، فإن F البالغة 3.35 تخفق بقليل في بلوغ الدلالة (p = .0502).

عمليات بحث محلولة
الموقف	df₁، df₂	α	القيمة الحرجة
تحليل تباين أحادي الاتجاه، 3 مجموعات بحجم 10	2، 27	.05	3.354
انحدار بثلاثة متنبئات، n = 24	3، 20	.05	3.098
الانحدار نفسه عند مستوى أكثر صرامة	3، 20	.01	4.938
اختبار ذو طرفين لتساوي التباينات، n = 10 لكل مجموعة	9، 9	.025 في كل ذيل	0.2484 و4.026
مقارنة مجموعتين بتحليل التباين (F = t²)	1، 10	.05	4.965 = 2.228²

توزيع F ليس متماثلًا، لذلك فالقيمة الحرجة الدنيا ليست ببساطة سالب القيمة العليا. وهي تأتي من تبديل درجات الحرية: فالقيمة الحرجة الدنيا F(α; df₁, df₂) تساوي 1 / F(α; df₂, df₁) من الذيل العلوي. ففي اختبار التباين أعلاه تكون 1 / 4.026 = 0.2484. ويعرض مربع البحث القيمتين معًا.

ما يعنيه صف الـ ∞ وعموده

عندما تنمو درجات حرية قيمةٍ ما دون حدّ، يصبح تقدير تباينها دقيقًا، ويتحول F إلى مربع كاي مُحجَّم: فمع df₂ = ∞ يكون F = χ²(df₁) / df₁، ومع df₁ = ∞ يكون F = df₂ / χ²(df₂). ويحسب الجدول هذه النهايات بدقة بدلًا من التعويض بعدد كبير، وحيث تكون الدرجتان لا نهائيتين فإن F = 1.

أخطاء شائعة

تبديل درجات الحرية. F(2, 24) وF(24, 2) مختلفتان كثيرًا: 3.403 مقابل 19.454 عند α = .05. ودرجات حرية البسط تمتد دائمًا أفقيًا في الأعلى.
قراءة الجدول الخطأ. لكل مستوى دلالة جدول منفصل، فتحقق من العنوان فوق الجدول قبل القراءة منه.
تنصيف α في تحليل التباين. اختبار F في تحليل التباين ذو ذيل أيمن بطبيعته: عند α = .05 استخدم جدول .05 لا جدول .025.

الأسئلة الشائعة

كيف تقرأ جدول F؟: اختر الجدول الموافق لـ α، واذهب أفقيًا إلى درجات حرية البسط (df₁)، ثم عموديًا إلى درجات حرية المقام (df₂). والمدخل هو القيمة الحرجة: ارفض الفرضية الصفرية إذا كانت F لديك مساوية لها أو أكبر منها. فعند df₁ = 5 وdf₂ = 10 وα = .05 تكون القيمة 3.326.
ما درجات الحرية لاختبار F في تحليل التباين؟: في تحليل التباين أحادي الاتجاه ذي k مجموعة وN مشاهدة إجمالًا، تكون df₁ = k − 1 (بين المجموعات) وdf₂ = N − k (داخل المجموعات). وللاختبار الكلي لانحدار بـ p متنبئًا وn حالة، تكون df₁ = p وdf₂ = n − p − 1.
هل اختبار F ذو ذيل واحد أم ذيلين؟: اختبارات F في تحليل التباين والانحدار ذات ذيل أيمن، لأن النسبة الكبيرة وحدها تُعد دليلًا ضد الفرضية الصفرية. أما اختبار تساوي تباينين فهو عادةً ذو طرفين، ويحتاج إلى القيمتين الحرجتين العليا والدنيا معًا.
ماذا لو لم تكن درجات حريتي موجودة في الجدول؟: استخدم مربع البحث للحصول على القيمة الدقيقة، مثل F(.05; 2, 35) = 3.2674. ومع الجدول المطبوع وحده يكون الاختيار المحافظ هو درجات الحرية الأصغر التالية الموجودة في الجدول، فتعطي قيمة حرجة أكبر قليلًا.
كيف يرتبط توزيعا F وt؟: F بدرجة حرية بسط واحدة هو مربع t: F(1, df) = t(df)². ولذلك F(.05; 1, 10) = 4.965 = 2.228²، ولذلك يعطي تحليل التباين لمجموعتين القيمة p نفسها التي يعطيها اختبار t مستقل ذو ذيلين.
لماذا تقترب القيم الحرجة لـ F من 1 عند درجات الحرية الكبيرة؟: عندما تكون الفرضية الصفرية صحيحة يقدّر البسط والمقام التباين نفسه. ومع درجات حرية كثيرة يصبح كلا التقديرين دقيقًا، فتستقر نسبتهما قرب 1؛ وتتقلص القيم الحرجة نحو 1 كلما زادت درجتا الحرية، وتساوي 1 تمامًا عندما تكونان لا نهائيتين.