Калькулятор теоремы Байеса

Также работают дроби вроде 1/250 и значения со знаком %.

Как пользоваться калькулятором теоремы Байеса

1. 1. Выберите, что вам известно. Обычно это априорная вероятность P(A), вероятность свидетельства при истинном A, P(B|A), и при ложном A, P(B|не A). Если вам известна общая P(B), переключитесь на второй вариант.
2. 2. Выберите проценты или десятичные дроби. В режиме процентов введите 1 для 1%, в режиме десятичных дробей — 0,01. Дроби вроде 1/250 работают в обоих режимах.
3. 3. Прочитайте P(A|B). Апостериорная вероятность выводится вместе с P(B) и вероятностями после отрицательного результата: P(A|не B) и P(не A|не B).
4. 4. Проверьте таблицу людей. Те же числа в виде количеств из 1 000, 10 000 или 100 000 человек показывают, откуда берётся ответ.

Теорема Байеса

P(A) — это априорная вероятность: насколько вероятно A было до того, как вы увидели свидетельство. P(B|A) — правдоподобие свидетельства, если A истинно, а P(B|не A) — его правдоподобие, если A ложно. P(B) — как часто свидетельство встречается вообще. Результат, P(A|B), — это апостериорная вероятность: насколько вероятно A теперь, когда вы увидели B. В диагностическом тесте это распространённость, чувствительность, доля ложноположительных результатов (1 − специфичность) и положительная прогностическая ценность.

Классический пример с медицинским тестом

Болезнь поражает 1% людей. Скрининговый тест выявляет её в 90% случаев (чувствительность), но даёт положительный результат и у 9% людей без неё. Тест у человека положительный. Насколько вероятно, что он болен? Многие думают, что почти 90%. Теорема Байеса говорит: P(B) = 0,9 × 0,01 + 0,09 × 0,99 = 0,0981, поэтому P(A|B) = 0,009 ÷ 0,0981 = 9,17%.

Если считать людьми, ответ легко увидеть: из 981 положительного результата только 90 приходятся на людей с болезнью, а 90 ÷ 981 = 9,17%. Тест неплох — болезнь редка, поэтому 9% ложноположительных результатов среди 9 900 здоровых людей перевешивают истинно положительные среди 100 больных. Психологи Герд Гигеренцер и Ульрих Хоффраге (1995) показали, что представление задач в виде естественных частот, как здесь, заметно повышает точность рассуждений по сравнению с представлением вероятностей.

Почему априорная вероятность так важна

Оставьте тот же тест, но примените его там, где болезнь поражает 10% пациентов — в специализированной клинике, а не в популяционном скрининге, — и положительный результат означает шанс 52,63%. Или повторите тест: если первый положительный результат поднимает вероятность до 9,17%, используйте её как новую априорную, и второй положительный результат (от независимого теста с той же точностью) поднимет её до 50,25%. Поэтому программы скрининга подтверждают положительные результаты вторым тестом и почему одно и то же свидетельство означает разное в разных популяциях.

Игнорирование априорной вероятности — это ошибка базовой частоты, и это не только медицинская проблема. Спам-фильтры, судебные доказательства, оповещения о мошенничестве и классификаторы машинного обучения сталкиваются с ней: когда искомое редко, большинство срабатываний ложны, даже если детектор хороший.

Часто задаваемые вопросы

Что такое теорема Байеса простыми словами?

Это правило пересчёта вероятности при появлении новых данных. Начните с того, насколько вероятно что-то было заранее (априорная вероятность), оцените, во сколько раз свидетельство вероятнее, если это что-то истинно, чем если ложно, — и получите обновлённую вероятность (апостериорную). Формула: P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B).

В чём разница между P(A|B) и P(B|A)?

Они отвечают на противоположные вопросы. P(B|A) — шанс положительного теста, если болезнь есть, то есть чувствительность, 90% в примере. P(A|B) — шанс, что болезнь есть, если тест положительный, — 9,17% в примере. Путаница между ними — ошибка перевёрнутого условия, а в суде прокурорская ошибка — один из самых частых промахов в рассуждениях о доказательствах.

Как найти P(B) для теоремы Байеса?

Обычно её вычисляют по формуле полной вероятности: P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|не A) × (1 − P(A)). Это первый режим ввода здесь. Если P(B) вам уже известна — например, из данных опроса, — используйте второй режим: калькулятор вычислит подразумеваемую P(B|не A).

Что такое чувствительность и специфичность?

Чувствительность — доля людей с болезнью, у которых тест положительный, P(положительный|болезнь). Специфичность — доля людей без болезни, у которых тест отрицательный, P(отрицательный|нет болезни). Доля ложноположительных результатов, которую запрашивает калькулятор, равна 1 − специфичность, поэтому тест со специфичностью 91% даёт 9% ложноположительных результатов.

Что такое ошибка базовой частоты?

Это оценка вероятности чего-либо по тому, насколько свидетельство подходит к нему, без учёта того, насколько это что-то распространено. При редком состоянии даже положительный результат точного теста чаще получает человек без этого состояния, потому что таких людей гораздо больше.

Можно ли применять теорему Байеса с более чем двумя исходами?

Да. Для нескольких взаимоисключающих гипотез A₁, A₂, … знаменатель становится суммой P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) по всем из них. Этот калькулятор решает распространённый случай с двумя исходами — A или не A, — который покрывает диагностические тесты, скрининг и большинство учебных задач.