Калькулятор биномиального теста
Введите число успехов, число испытаний и вероятность, с которой хотите сравнить результат, и получите точное биномиальное p-значение для всех трёх альтернатив, доверительный интервал Клоппера–Пирсона, интервал Уилсона для сравнения и h Коэна как меру величины эффекта. Биномиальное распределение при вашей нулевой гипотезе выведено в таблицу, чтобы было видно, какие исходы входят в p-значение. Бесплатно, без регистрации.
Значение от 0 до 1, например 0,5 или 0,25.
Введите число успехов, число испытаний и p₀.
Как пользоваться калькулятором биномиального теста
- 1. Введите количества. Укажите число успехов (k) и число испытаний (n). Успех — это тот исход, который вы считаете: орёл, правильный ответ, респондент, который согласен.
- 2. Введите p₀. Это вероятность успеха при вашей нулевой гипотезе: 0,5 для честной монеты, 0,25 для угадывания из четырёх вариантов или опубликованный эталон.
- 3. Выберите альтернативу и уровень доверия. «Двусторонняя» проверяет, отличается ли истинная вероятность от p₀ в любую сторону; односторонние варианты спрашивают только об одном направлении.
- 4. Прочитайте результат. Точное p-значение, доверительный интервал для истинной вероятности и таблица нулевого распределения появятся ниже. Когда закончите, скопируйте строку в формате APA.
Как работает точный биномиальный тест
Если каждое испытание независимо и успех с одинаковой вероятностью p₀, число успехов X распределено по закону Binomial(n, p₀): P(X = j) = C(n, j) p₀j (1 − p₀)n−j. Односторонние p-значения — это простые «хвосты»: P(X ≤ k) для «вероятность меньше p₀» и P(X ≥ k) для «больше». Аппроксимации нет, поэтому тест корректен при любом n, включая очень малые выборки и вероятности около 0 или 1, где z-тест с нормальной аппроксимацией перестаёт работать.
Двустороннее p-значение требует осторожности. Удвоение меньшего хвоста правильно только при p₀ = 0,5, поскольку только тогда распределение симметрично. Калькулятор использует правило binom.test из R и binomtest из SciPy: складываются вероятности всех исходов, которые не более вероятны, чем наблюдённый. В таблице эти исходы отмечены, чтобы было видно, что именно учтено. Для симметричной нулевой гипотезы это равно удвоенному меньшему хвосту.
Доверительный интервал для истинной вероятности — точный интервал Клоппера–Пирсона, построенный по квантилям бета-распределения. Он гарантирует покрытие не меньше заданного, поэтому получается скорее широким. Рядом показан интервал Уилсона: он уже, а его покрытие близко к номинальному. Для односторонней альтернативы точный интервал тоже односторонний, как в R.
Пример: проверка эталона 30%
Нажмите Попробовать пример, чтобы загрузить опрос, в котором 61 из 150 респондентов выбрали вариант, который, по опубликованному эталону, выбирают 30% людей. Наблюдаемая доля p̂ = 0,407; ожидаемое число при H₀ равно 45.
Точный биномиальный тест по шагам
X ~ Binomial(150; 0,3); P(X = 61) = 0,001418
Исходы не более вероятные, чем 61: 0–29 и 61–150 → двустороннее p = 0,0056
Односторонние: P(X ≥ 61) = 0,0035; P(X ≤ 61) = 0,998
95% ДИ Клоппера–Пирсона [0,327; 0,490]; h Коэна = 0,22
В формате APA: вариант выбрали больше респондентов, чем по эталону 30%, — 61 из 150 (p̂ = 0,41), точный биномиальный тест против p₀ = 0,30: p = 0,006, 95% ДИ [0,33; 0,49]. Интервал не содержит 0,30, что согласуется с тестом, а h = 0,22 — величина эффекта от малой до средней по правилу Коэна (0,2 — малая, 0,5 — средняя, 0,8 — большая).
Биномиальный тест или другой?
| Ситуация | Что лучше |
|---|---|
| Одна доля, любой размер выборки | Точный биномиальный тест |
| Большая выборка, np₀ и n(1 − p₀) не меньше 10 | Нормальная аппроксимация (z-тест для одной доли), которая почти совпадает с точным результатом |
| Две независимые доли | z-тест для двух долей или точный тест Фишера при малых числах |
| Парные ответы «да/нет» | Тест Макнемара, который является биномиальным тестом по парам с расхождением |
| Частоты по трём и более категориям | Критерий хи-квадрат согласия |
Часто задаваемые вопросы
- Для чего используется биномиальный тест?
- Он проверяет, согласуется ли доля успехов в выборке с предполагаемой вероятностью: например, честна ли монета, соответствует ли доля успешных прохождений целевому показателю или отличается ли доля людей, выбравших вариант, от эталона. Он подходит для выборок любого размера, потому что использует точные биномиальные вероятности.
- Когда использовать биномиальный тест вместо z-теста?
- Когда выборка мала или p₀ близко к 0 или 1, то есть когда np₀ или n(1 − p₀) меньше примерно 10: нормальная аппроксимация z-теста там ненадёжна. При большой выборке оба дают почти один и тот же ответ, но точный тест не ошибается, поэтому причин предпочитать аппроксимацию мало.
- Почему двустороннее p-значение нельзя просто удвоить из одностороннего?
- Удвоение работает только тогда, когда нулевое распределение симметрично, то есть при p₀ = 0,5. При другом p₀ распределение асимметрично, и исходы в противоположном хвосте, столь же маловероятные, как ваш, не являются зеркальным отражением. Стандартный метод суммирует вероятности всех исходов, которые не более вероятны, чем наблюдённый.
- Как записать результат биномиального теста в формате APA?
- Укажите количества и тест, предполагаемую вероятность, точное p-значение и интервал: 61 из 150 (p̂ = 0,41), точный биномиальный тест против p₀ = 0,30: p = 0,006, 95% ДИ [0,33; 0,49]. Курсивом выделяют p и p̂. По правилам APA ноль перед запятой для долей, которые не могут превышать 1, можно опускать, если журнал этого требует.
- Какой доверительный интервал указывать?
- Интервал Клоппера–Пирсона естественно сочетается с точным тестом и гарантирует покрытие не ниже номинального, но он консервативен. Интервал Уилсона короче и имеет покрытие ближе к номинальному, его часто выбирают для отчёта о доле. В любом случае укажите, какой именно вы использовали.
- Какие допущения делает биномиальный тест?
- Что каждое испытание имеет ровно два исхода, испытания независимы, вероятность успеха одинакова во всех испытаниях и число испытаний фиксировано заранее. Выборка без возвращения из малой совокупности нарушает независимость; тогда правильной моделью служит гипергеометрическое распределение.