Калькулятор биномиального распределения

Результаты

np = 10 и n(1 − p) = 10 оба не меньше 10, поэтому нормальное приближение N(10, 2,2361²) разумно. С поправкой на непрерывность оно даёт P(X ≤ 12) ≈ 0,8682 против точного 0,8684.

Как пользоваться калькулятором биномиального распределения

1. 1. Введите число испытаний. n — сколько раз повторяется эксперимент: 20 бросков монеты, 50 пациентов, 10 вопросов.
2. 2. Введите вероятность успеха. p — шанс успеха одного испытания, от 0 до 1: 0,5 для честной монеты, 0,25 для угадывания среди четырёх вариантов.
3. 3. Введите k и при желании второе значение. k — число успехов, которое вас интересует. Заполните второе поле, чтобы получить и вероятность диапазона.
4. 4. Читайте вероятности. Вы получите P(X = k) и все четыре накопленные версии, среднее, дисперсию и стандартное отклонение, примечание о нормальном приближении, а для n до 200 — полную таблицу и столбчатую диаграмму.

Что моделирует биномиальное распределение

Биномиальное распределение считает успехи в фиксированном числе независимых испытаний, каждое из которых успешно с одной и той же вероятностью: орлы в 20 бросках монеты, правильные ответы на тесте с выбором или пациенты, отозвавшиеся на лечение. Должны выполняться четыре условия: фиксированное n, два исхода в каждом испытании, постоянное p и испытания, которые не влияют друг на друга.

Вероятность ровно k успехов равна P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}, где C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) считает способы выбрать, какие испытания дадут успех. Среднее равно np, дисперсия — np(1 − p). Калькулятор точно вычисляет накопленные вероятности через регуляризованную неполную бета-функцию, поэтому даже P(X ≥ 95) в 100 честных бросках — примерно 6,26 × 10⁻²³ — выходит верно, а не как ноль.

Поскольку биномиальное распределение дискретно, «не меньше 12» и «больше 12» — разные вопросы с разными ответами. Перевод формулировки в одну из этих шести форм — обычно самая трудная часть задачи на биномиальное распределение.

Пример: броски монеты и угадывание

Бросьте честную монету 20 раз (n = 20, p = 0,5). Шанс ровно 12 орлов — C(20, 12) × 0,5²⁰ = 125 970 / 1 048 576 = 0,1201. Шанс 12 или больше — P(X ≥ 12) = 0,2517, а шанс не больше 12 — P(X ≤ 12) = 0,8684. Между 8 и 12 орлами включительно P(8 ≤ X ≤ 12) = 0,7368. Среднее равно 10, дисперсия — 5, стандартное отклонение — 2,2361.

Теперь 20-вопросный тест с выбором из четырёх вариантов в каждом вопросе, на который отвечают чисто наугад (n = 20, p = 0,25). Ожидаемый результат — 5, а шанс набрать 10 или больше правильных — P(X ≥ 10) = 0,0139, то есть примерно 1 из 72.

Когда работает нормальное приближение

При большом n биномиальное распределение похоже на нормальное со средним np и стандартным отклонением √(np(1 − p)). Обычное правило — применять приближение только при np ≥ 10 и n(1 − p) ≥ 10 (некоторые учебники допускают 5) и вводить поправку на непрерывность 0,5. В примере с монетой оба числа равны ровно 10, а приближение даёт P(X ≤ 12) ≈ Φ((12,5 − 10) / 2,2361) = 0,8682 против точного 0,8684. Поскольку точные значения доступны в один клик, приближение теперь в основном учебный приём.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить биномиальную вероятность?

Используйте P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}: число способов разместить k успехов среди n испытаний, умноженное на вероятность одной такой последовательности. Накопленные вероятности — это сумма таких членов. Введите n, p и k выше, и калькулятор вычислит их все сразу.

В чём разница между P(X < k) и P(X ≤ k)?

P(X ≤ k) включает k, а P(X < k) — нет, поэтому P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). Для 20 честных бросков монеты P(X ≤ 12) = 0,8684, а P(X < 12) = 0,7483 — разница равна P(X = 12) = 0,1201.

Каковы условия биномиального распределения?

Фиксированное число испытаний, два возможных исхода в каждом, одна и та же вероятность успеха каждый раз и независимые испытания. Выборка без возвращения из небольшой совокупности нарушает условие постоянства p, поэтому там используйте гипергеометрическое распределение.

Чему равны среднее и стандартное отклонение биномиального распределения?

Среднее — np, дисперсия — np(1 − p), а стандартное отклонение — √(np(1 − p)). Для n = 20 и p = 0,25 среднее равно 5, дисперсия — 3,75, а стандартное отклонение — 1,9365.

Работает ли калькулятор при большом n?

Да. n может достигать миллионов, потому что накопленные вероятности вычисляются через неполную бета-функцию, а не суммированием тысяч членов, поэтому точность не падает с ростом n. Таблица и столбчатая диаграмма строятся для n до 200, где они остаются читаемыми.

Когда вместо этого использовать распределение Пуассона или нормальное?

Пуассон — для числа событий в интервале, когда нет фиксированного числа испытаний; он также приближает биномиальное при большом n и малом p. Нормальное приближение используйте только как проверку и лишь тогда, когда np и n(1 − p) оба не меньше 10.