二項分布計算ツール
試行回数n、成功確率p、成功回数kを入力すると、ちょうどk、以下、未満、以上、より多い、範囲のすべての二項確率が得られます。平均、分散、確率の完全な表、棒グラフも表示されます。無料で、登録は不要です。
この値までの P(k ≤ X ≤ この値) を結果に加えます。
結果
| 確率 | 意味 | 値 |
|---|---|---|
| P(X = 12) | ちょうど 12 | 0.1201 |
| P(X ≤ 12) | 12以下 | 0.8684 |
| P(X < 12) | 12未満 | 0.7483 |
| P(X ≥ 12) | 12以上 | 0.2517 |
| P(X > 12) | 12より多い | 0.1316 |
10
平均（np）
5
分散（np(1 − p)）
2.2361
標準偏差
np = 10 と n(1 − p) = 10 はどちらも10以上なので、正規近似 N(10, 2.2361²) は妥当です。連続性の補正を行うと P(X ≤ 12) ≈ 0.8682 となり、正確な値は 0.8684 です。
確率分布
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 0 | 9.54 × 10−7 | 9.54 × 10−7 | 1.0000 |
| 1 | 1.91 × 10−5 | 2.00 × 10−5 | 1.0000 |
| 2 | 0.0002 | 0.0002 | 1.0000 |
| 3 | 0.0011 | 0.0013 | 0.9998 |
| 4 | 0.0046 | 0.0059 | 0.9987 |
| 5 | 0.0148 | 0.0207 | 0.9941 |
| 6 | 0.0370 | 0.0577 | 0.9793 |
| 7 | 0.0739 | 0.1316 | 0.9423 |
| 8 | 0.1201 | 0.2517 | 0.8684 |
| 9 | 0.1602 | 0.4119 | 0.7483 |
| 10 | 0.1762 | 0.5881 | 0.5881 |
| 11 | 0.1602 | 0.7483 | 0.4119 |
| 12 | 0.1201 | 0.8684 | 0.2517 |
| 13 | 0.0739 | 0.9423 | 0.1316 |
| 14 | 0.0370 | 0.9793 | 0.0577 |
| 15 | 0.0148 | 0.9941 | 0.0207 |
| 16 | 0.0046 | 0.9987 | 0.0059 |
| 17 | 0.0011 | 0.9998 | 0.0013 |
| 18 | 0.0002 | 1.0000 | 0.0002 |
| 19 | 1.91 × 10−5 | 1.0000 | 2.00 × 10−5 |
| 20 | 9.54 × 10−7 | 1.0000 | 9.54 × 10−7 |
二項分布計算ツールの使い方
- 1. 試行回数を入力します。 nは実験を行う回数です。コインを20回投げる、50人の患者、10問の質問などです。
- 2. 成功確率を入力します。 pは1回の試行が成功する確率で、0から1の間です。公平なコインなら0.5、4択を当てずっぽうで答えるなら0.25です。
- 3. kと、任意で2つ目の値を入力します。 kは尋ねたい成功回数です。2つ目の欄を埋めると、範囲の確率も得られます。
- 4. 確率を読みます。 P(X = k) と4つの累積確率すべて、平均、分散、標準偏差、正規近似に関する注意が得られます。さらに、nが200までなら、完全な表と棒グラフも表示されます。
二項分布が表すもの
二項分布は、それぞれ同じ確率で成功する独立な試行を一定回数行ったときに、成功回数を数えるものです。例えば、20回のコイン投げで表が出る回数、多肢選択式テストで正解する数、治療に反応する患者の数などです。4つの条件が成り立つ必要があります。nが固定であること、各試行の結果が2通りであること、pが一定であること、試行が互いに影響しないことです。
ちょうどk回成功する確率は P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k で、C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) は、どの試行が成功するかを選ぶ方法の数です。平均は np、分散は np(1 − p) です。このツールは累積確率を正則化不完全ベータ関数で正確に評価するため、例えば公平なコインを100回投げて P(X ≥ 95) を求めても、約 6.26 × 10−23 という正しい値が得られ、0にはなりません。
| 言い回し | 表記 | kを含むか？ |
|---|---|---|
| ちょうどk | P(X = k) | kだけ |
| k以下、k回を超えない | P(X ≤ k) | 含む |
| k未満、k回より少ない | P(X < k) = P(X ≤ k − 1) | 含まない |
| k以上、k回以上 | P(X ≥ k) | 含む |
| kより多い、k回より多い | P(X > k) = P(X ≥ k + 1) | 含まない |
| aからbまで、両端を含む | P(a ≤ X ≤ b) | 両端を含む |
二項分布は離散型なので、「12回以上」と「12回より多い」は別の問いで、答えも異なります。文章をこの6つの形のどれかに言い換えることが、二項分布の問題で最も難しい部分であることが多いです。
具体例: コイン投げと当て推量
公平なコインを20回投げます（n = 20、p = 0.5）。ちょうど12回表が出る確率は C(20, 12) × 0.520 = 125,970 / 1,048,576 = 0.1201 です。12回以上表が出る確率は P(X ≥ 12) = 0.2517、12回以下は 0.8684 です。表が8回から12回の間（両端を含む）である確率は P(8 ≤ X ≤ 12) = 0.7368 です。平均は10、分散は5、標準偏差は2.2361 です。
次に、4つの選択肢がある20問の多肢選択式テストを、完全な当て推量で解く場合（n = 20、p = 0.25）を考えます。期待される得点は5で、10問以上正解して合格する確率は P(X ≥ 10) = 0.0139、約72回に1回です。
正規近似が使える場合
nが大きいと、二項分布は平均 np、標準偏差 √(np(1 − p)) の正規分布に近づきます。通常の目安は、np ≥ 10 かつ n(1 − p) ≥ 10 のときだけ近似することです（教科書によっては5を基準にするものもあります）。また、0.5の連続性の補正を適用します。コインの例では両方の値がちょうど10なので、近似は P(X ≤ 12) ≈ Φ((12.5 − 10) / 2.2361) = 0.8682 を与え、正確な値 0.8684 に近くなります。正確な値がすぐに得られる今では、近似は主に教育のための道具です。
よくある質問
- 二項確率はどのように計算しますか？
- P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k を使います。これは、n回の試行の中でk回の成功を置く方法の数に、そのような1つの系列の確率を掛けたものです。累積確率はこれらの項を足し合わせたものです。上でn、p、kを入力すると、ツールがそれらすべてを一度に評価します。
- P(X < k) と P(X ≤ k) の違いは何ですか？
- P(X ≤ k) はkを含み、P(X < k) は含みません。そのため P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k) です。公平なコインを20回投げる場合、P(X ≤ 12) = 0.8684、P(X < 12) = 0.7483 で、その差は P(X = 12) = 0.1201 です。
- 二項分布の条件は何ですか？
- 試行の回数が固定されていること、各回の結果が2通りであること、成功確率が毎回同じであること、試行が独立であることです。小さな母集団から復元せずに抽出すると、pが一定という条件が崩れるため、その場合は超幾何分布を使ってください。
- 二項分布の平均と標準偏差は何ですか？
- 平均は np、分散は np(1 − p)、標準偏差は √(np(1 − p)) です。n = 20、p = 0.25 の場合、平均は5、分散は3.75、標準偏差は1.9365です。
- このツールは大きなnにも使えますか？
- はい。nは数百万にもなりえます。累積確率は多数の項を足し合わせるのではなく不完全ベータ関数から求めるため、nが大きくなっても精度は落ちません。表と棒グラフは、読みやすさを保つためnが200までのときに描かれます。
- 代わりにポアソン分布や正規分布を使うのはいつですか？
- 一定の時間や区間で起きる事象の数を数えるときで、試行の回数が決まっていない場合はポアソン分布を使います。nが大きくpが小さい場合は、二項分布の近似にもなります。正規近似は、npとn(1 − p)がともに10以上のときに、確認のためにだけ使ってください。