Calculadora de distribuição binomial

Resultados

np = 10 e n(1 − p) = 10 são ambos pelo menos 10, então a aproximação normal N(10, 2,2361²) é razoável. Com correção de continuidade, ela dá P(X ≤ 12) ≈ 0,8682, contra o valor exato de 0,8684.

Como usar a calculadora de distribuição binomial

1. 1. Digite o número de tentativas. n é quantas vezes o experimento é repetido: 20 lançamentos de moeda, 50 pacientes, 10 perguntas.
2. 2. Digite a probabilidade de sucesso. p é a chance de uma tentativa dar certo, entre 0 e 1 — 0,5 para uma moeda justa, 0,25 para chutar entre quatro opções.
3. 3. Digite k e, se quiser, um segundo valor. k é o número de sucessos que você quer saber. Preencha a segunda caixa para obter também a probabilidade de um intervalo.
4. 4. Leia as probabilidades. Você recebe P(X = k) e as quatro versões acumuladas, a média, a variância e o desvio padrão, uma observação sobre a aproximação normal e — para n até 200 — a tabela completa e um gráfico de barras.

O que a distribuição binomial modela

A distribuição binomial conta os sucessos em um número fixo de tentativas independentes, em que cada uma tem a mesma probabilidade de dar certo: caras em 20 lançamentos de moeda, respostas certas em um teste de múltipla escolha, ou pacientes que respondem a um tratamento. Quatro condições devem valer — um n fixo, dois resultados por tentativa, um p constante e tentativas que não se influenciam.

A probabilidade de exatamente k sucessos é P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}, em que C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) conta as maneiras de escolher quais tentativas dão certo. A média é np e a variância np(1 − p). A calculadora avalia as probabilidades acumuladas de forma exata pela função beta incompleta regularizada, então até P(X ≥ 95) em 100 lançamentos justos — cerca de 6,26 × 10⁻²³ — sai correta, em vez de zero.

Como a binomial é discreta, “pelo menos 12” e “mais de 12” são perguntas diferentes, com respostas diferentes. Transformar o enunciado em uma destas seis formas costuma ser a parte mais difícil de um problema binomial.

Exemplo prático: lançamentos de moeda e chute

Lance uma moeda justa 20 vezes (n = 20, p = 0,5). A chance de exatamente 12 caras é C(20, 12) × 0,5²⁰ = 125.970 / 1.048.576 = 0,1201. A chance de 12 ou mais é P(X ≥ 12) = 0,2517, e a de no máximo 12 é 0,8684. Entre 8 e 12 caras, inclusive, P(8 ≤ X ≤ 12) = 0,7368. A média é 10, a variância 5 e o desvio padrão 2,2361.

Agora um teste de múltipla escolha com 20 perguntas e quatro opções por pergunta, respondido por pura adivinhação (n = 20, p = 0,25). A pontuação esperada é 5, e a chance de passar com 10 ou mais acertos é P(X ≥ 10) = 0,0139 — cerca de 1 em 72.

Quando a aproximação normal funciona

Para n grande, a binomial se parece com uma normal, com média np e desvio padrão √(np(1 − p)). A regra usual é aproximar só quando np ≥ 10 e n(1 − p) ≥ 10 — alguns livros aceitam 5 — e aplicar uma correção de continuidade de 0,5. No exemplo da moeda, ambas as contagens são exatamente 10, e a aproximação dá P(X ≤ 12) ≈ Φ((12,5 − 10) / 2,2361) = 0,8682, contra o exato 0,8684. Com os valores exatos a um clique de distância, a aproximação é hoje sobretudo um recurso didático.

Perguntas frequentes

Como calculo uma probabilidade binomial?

Use P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}: o número de maneiras de colocar k sucessos entre n tentativas, multiplicado pela probabilidade de qualquer uma dessas sequências. As probabilidades acumuladas somam esses termos. Digite n, p e k acima e a calculadora avalia todos de uma vez.

Qual é a diferença entre P(X < k) e P(X ≤ k)?

P(X ≤ k) inclui k e P(X < k) não, então P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). Para 20 lançamentos justos, P(X ≤ 12) = 0,8684 enquanto P(X < 12) = 0,7483 — a diferença é P(X = 12) = 0,1201.

Quais são as condições para uma distribuição binomial?

Um número fixo de tentativas, dois resultados possíveis em cada uma, a mesma probabilidade de sucesso sempre e tentativas independentes. Sortear sem reposição de uma população pequena quebra a condição de p constante; nesse caso use a distribuição hipergeométrica.

Quais são a média e o desvio padrão de uma distribuição binomial?

A média é np, a variância np(1 − p) e o desvio padrão √(np(1 − p)). Para n = 20 e p = 0,25, a média é 5, a variância 3,75 e o desvio padrão 1,9365.

A calculadora funciona para n grande?

Sim. n pode chegar a milhões, porque as probabilidades acumuladas vêm da função beta incompleta em vez de somar milhares de termos, então a precisão não cai conforme n cresce. A tabela e o gráfico de barras são desenhados para n até 200, onde continuam legíveis.

Quando devo usar a Poisson ou a normal?

Use a Poisson para contagens de eventos em um intervalo quando não há um número fixo de tentativas; ela também aproxima a binomial quando n é grande e p é pequeno. Use a aproximação normal apenas como verificação, e só quando np e n(1 − p) forem ambos pelo menos 10.