Calculadora de covariância
Cole valores pareados de x e y e obtenha a covariância amostral (dividindo por n − 1) e a covariância populacional (dividindo por n), com uma tabela de cada desvio e cada produto. A calculadora explica o que o sinal indica, por que o tamanho de uma covariância é difícil de ler sozinho, e apresenta também o r de Pearson.
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Informe pelo menos dois pares (x, y) para calcular a covariância.
Como usar a calculadora de covariância
- 1. Informe os pares. Digite os valores de x e de y como duas listas na mesma ordem, ou mude para um par «x, y» por linha — prático para colar duas colunas de uma planilha.
- 2. Confira a quantidade. As duas listas devem ter o mesmo número de valores; cada x é pareado com o y na mesma posição.
- 3. Leia as duas covariâncias. Use a covariância amostral para uma amostra de uma população maior — o caso usual em pesquisa — e a covariância populacional quando os seus pares forem a população inteira.
- 4. Acompanhe a tabela. Cada linha mostra os dois desvios em relação às médias e o produto deles; os produtos somados dão o numerador da fórmula.
A fórmula da covariância
A covariância mede se duas variáveis variam juntas. Para cada par, tome quanto x está afastado da sua média e quanto y está afastado da sua média, e multiplique. O produto é positivo quando ambos estão acima das médias ou ambos abaixo, e negativo quando um está acima e o outro abaixo. A média dos produtos dá a covariância:
Amostral
sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (n − 1)
Populacional
σxy = Σ(x − μx)(y − μy) ÷ N
A versão amostral divide por n − 1 pelo mesmo motivo que a variância amostral: os desvios em relação às médias da amostra saem um pouco pequenos, e n − 1 corrige esse viés. Na verdade, a covariância de uma variável consigo mesma é a sua variância.
Exemplo prático
Cinco estudantes informam horas de revisão (x) e notas de prova (y). As médias são x̄ = 6 horas e ȳ = 75 pontos:
| x (horas) | y (nota) | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 65 | −4 | −10 | 40 |
| 4 | 70 | −2 | −5 | 10 |
| 6 | 72 | 0 | −3 | 0 |
| 8 | 81 | 2 | 6 | 12 |
| 10 | 87 | 4 | 12 | 48 |
Soma dos produtos: 110.
Covariância amostral = 110 ÷ (5 − 1) = 27,5; covariância populacional = 110 ÷ 5 = 22. Todos os produtos são zero ou positivos, então o sinal é claramente positivo: estudantes que revisaram mais tiveram notas mais altas. Dividindo a covariância pela variância de x, 10, obtém-se também a inclinação da reta de regressão — 2,75 pontos a mais por hora de revisão.
Por que o tamanho de uma covariância é difícil de interpretar
A covariância é medida em unidades de x vezes unidades de y — aqui, horas-pontos. Se o tempo de revisão for registrado em minutos em vez de horas, a covariância salta de 27,5 para 1.650, embora nada na relação tenha mudado. Assim, o sinal de uma covariância é significativo, mas o seu tamanho não diz se a relação é forte ou fraca, e não é possível comparar covariâncias de estudos com unidades diferentes.
A correlação resolve isso dividindo pelos dois desvios padrão: r = sxy ÷ (sx × sy) = 27,5 ÷ (3,1623 × 8,86) ≈ 0,98, em horas ou em minutos. Quando quiser dizer o quanto fortemente duas variáveis se relacionam, relate r — a Calculadora de correlação o fornece com uma interpretação — e guarde a covariância para as fórmulas que a exigem, como as inclinações de regressão e a variância de carteiras de investimento.
Perguntas frequentes
- O que a covariância indica?
- Ela indica a direção da relação linear entre duas variáveis. Uma covariância positiva significa que elas tendem a subir juntas; uma negativa, que uma tende a cair quando a outra sobe; e um valor perto de zero, que não há padrão linear. Seu tamanho depende das unidades, portanto ela não mede a força da relação.
- Qual é a diferença entre covariância e correlação?
- A correlação é a covariância reescalada pelos dois desvios padrão, o que a torna adimensional e a limita entre −1 e +1. A covariância tem o mesmo sinal da correlação, mas pode ter qualquer tamanho, por isso só a correlação pode ser comparada entre conjuntos de dados ou lida como fraca ou forte.
- Devo usar a covariância amostral ou a populacional?
- Use a covariância amostral, dividindo por n − 1, quando seus dados são uma amostra e você quer estimar a relação em uma população maior — quase sempre o caso em pesquisa. Use a covariância populacional, dividindo por n, apenas quando tiver todos os membros da população. As funções COVARIANCE.S e COVARIANCE.P do Excel fazem a mesma distinção.
- A covariância pode ser negativa?
- Sim. Uma covariância negativa significa que valores acima da média de uma variável tendem a ocorrer junto com valores abaixo da média da outra — por exemplo, horas de tela e horas de sono. Não há limite inferior nem superior para o seu tamanho.
- Uma covariância igual a zero significa que as variáveis são independentes?
- Não. Covariância zero significa que não há relação linear. Variáveis podem estar fortemente relacionadas de forma curva e ainda assim ter covariância exatamente zero — y = x² em um intervalo simétrico em torno de zero é o caso clássico. Variáveis independentes sempre têm covariância zero.
- Como a covariância se relaciona com a inclinação da regressão?
- A inclinação de mínimos quadrados de y sobre x é a covariância dividida pela variância de x: b = covariância(x, y) ÷ variância(x). No exemplo trabalhado, isso dá 27,5 ÷ 10 = 2,75 pontos por hora, a mesma inclinação que a Calculadora de regressão linear informa para esses dados.