Covariantiecalculator

Zo gebruik je de covariantiecalculator

1. 1. Voer de paren in. Typ de x-waarden en y-waarden als twee lijsten in dezelfde volgorde, of schakel over naar één „x, y”-paar per regel — handig als je twee kolommen uit een spreadsheet plakt.
2. 2. Controleer het aantal. Beide lijsten moeten evenveel waarden bevatten; elke x wordt gepaard met de y op dezelfde positie.
3. 3. Lees beide covarianties. Gebruik de steekproefcovariantie voor een steekproef uit een grotere populatie — het gebruikelijke geval in onderzoek — en de populatiecovariantie wanneer je paren de hele populatie vormen.
4. 4. Volg de tabel. Elke rij toont de twee afwijkingen van de gemiddelden en hun product; de producten tellen op tot de teller van de formule.

De covariantieformule

Covariantie meet of twee variabelen samen bewegen. Neem voor elk paar hoe ver x van zijn gemiddelde ligt en hoe ver y van zijn gemiddelde ligt, en vermenigvuldig die twee. Het product is positief als beide boven of beide onder hun gemiddelde liggen, en negatief als de ene boven en de andere onder het gemiddelde ligt. Het gemiddelde van de producten geeft de covariantie:

De steekproefversie deelt door n − 1, om dezelfde reden als de steekproefvariantie: afwijkingen ten opzichte van de steekproefgemiddelden vallen iets te klein uit, en n − 1 corrigeert die vertekening. De covariantie van een variabele met zichzelf is trouwens de variantie.

Uitgewerkt voorbeeld

Vijf studenten melden hun uren herhaling (x) en hun tentamenscores (y). De gemiddelden zijn x̄ = 6 uur en ȳ = 75 punten:

Steekproefcovariantie = 110 ÷ (5 − 1) = 27,5; populatiecovariantie = 110 ÷ 5 = 22. Elk product is nul of positief, dus het teken is duidelijk positief: studenten die meer herhaalden, scoorden hoger. Delen van de covariantie door de variantie van x, 10, geeft ook de helling van de regressielijn — 2,75 punten per extra uur.

Waarom de grootte van een covariantie moeilijk te interpreteren is

De covariantie wordt uitgedrukt in eenheden van x maal eenheden van y — hier uur-punten. Registreer je herhalingstijd in minuten in plaats van uren, dan springt de covariantie van 27,5 naar 1.650, hoewel er aan het verband niets is veranderd. Het teken van een covariantie is dus betekenisvol, maar de grootte ervan zegt niet of een verband sterk of zwak is, en je kunt covarianties uit studies met verschillende eenheden niet met elkaar vergelijken.

Correlatie lost dit op door beide standaardafwijkingen weg te delen: r = s_xy ÷ (s_x × s_y) = 27,5 ÷ (3,1623 × 8,86) ≈ 0,98, in uren of in minuten. Wil je zeggen hoe sterk twee variabelen samenhangen, rapporteer dan r — de Correlatiecalculator geeft die met een interpretatie — en bewaar de covariantie voor de formules die die nodig hebben, zoals regressiehellingen en portefeuillevariantie.

Veelgestelde vragen

Wat vertelt covariantie je?

Ze vertelt de richting van het lineaire verband tussen twee variabelen. Een positieve covariantie betekent dat ze meestal samen stijgen, een negatieve dat de ene daalt terwijl de andere stijgt, en een waarde nabij nul betekent geen lineair patroon. Haar grootte hangt van de eenheden af, dus ze meet de sterkte niet.

Wat is het verschil tussen covariantie en correlatie?

Correlatie is covariantie herschaald door de twee standaardafwijkingen, waardoor ze eenheidsloos wordt en tussen −1 en +1 ligt. Covariantie heeft hetzelfde teken als de correlatie maar kan elke grootte hebben, dus alleen de correlatie is te vergelijken tussen datasets of af te lezen als zwak of sterk.

Moet ik de steekproef- of de populatiecovariantie gebruiken?

Gebruik de steekproefcovariantie, delend door n − 1, wanneer je data een steekproef zijn en je het verband in een grotere populatie wilt schatten — vrijwel altijd het geval in onderzoek. Gebruik de populatiecovariantie, delend door n, alleen als je elk lid van de populatie hebt. Excel's COVARIANCE.S en COVARIANCE.P maken dezelfde keuze.

Kan covariantie negatief zijn?

Ja. Een negatieve covariantie betekent dat bovengemiddelde waarden van de ene variabele vaak samengaan met ondergemiddelde waarden van de andere — bijvoorbeeld uren schermgebruik en uren slaap. Er is geen ondergrens of bovengrens voor de grootte.

Betekent een covariantie van nul dat de variabelen onafhankelijk zijn?

Nee. Een covariantie van nul betekent geen lineair verband. Variabelen kunnen op een gebogen manier sterk samenhangen — y = x² over een bereik symmetrisch rond nul is het klassieke voorbeeld — en toch een covariantie van precies nul hebben. Onafhankelijke variabelen hebben altijd een covariantie van nul.

Hoe hangt covariantie samen met de regressiehelling?

De kleinste-kwadratenhelling van y op x is de covariantie gedeeld door de variantie van x: b = covariantie(x, y) ÷ variantie(x). In het uitgewerkte voorbeeld is dat 27,5 ÷ 10 = 2,75 punten per uur, dezelfde helling die de Linear Regression Calculator voor die data geeft.