Calculateur de covariance
Collez des valeurs x et y appariées et obtenez la covariance d'échantillon (division par n − 1) et la covariance de population (division par n), avec un tableau de chaque écart et de chaque produit. Le calculateur explique ce que dit le signe, pourquoi l'ampleur d'une covariance est difficile à lire seule, et donne le r de Pearson en complément.
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Saisissez au moins deux couples (x, y) pour calculer la covariance.
Comment utiliser le calculateur de covariance
- 1. Saisissez les couples. Tapez les valeurs de x et de y sous forme de deux listes dans le même ordre, ou passez à une paire « x, y » par ligne — pratique pour coller deux colonnes d'un tableur.
- 2. Vérifiez le nombre de valeurs. Les deux listes doivent contenir le même nombre de valeurs : chaque x est associé au y situé à la même position.
- 3. Lisez les deux covariances. Utilisez la covariance d'échantillon pour un échantillon issu d'une population plus grande — le cas habituel en recherche — et la covariance de population lorsque vos couples forment la population entière.
- 4. Suivez le tableau. Chaque ligne présente les deux écarts à la moyenne et leur produit ; la somme des produits donne le numérateur de la formule.
La formule de la covariance
La covariance mesure si deux variables évoluent ensemble. Pour chaque couple, prenez l'écart de x à sa moyenne et l'écart de y à sa moyenne, puis multipliez-les. Le produit est positif lorsque les deux valeurs sont au-dessus de leur moyenne ou toutes deux en dessous, et négatif lorsque l'une est au-dessus et l'autre en dessous. La moyenne des produits donne la covariance :
Échantillon
sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (n − 1)
Population
σxy = Σ(x − μx)(y − μy) ÷ N
La version d'échantillon divise par n − 1, pour la même raison que la variance d'échantillon : les écarts aux moyennes d'échantillon sont légèrement trop petits, et n − 1 corrige ce biais. D'ailleurs, la covariance d'une variable avec elle-même est sa variance.
Exemple détaillé
Cinq étudiants indiquent leurs heures de révision (x) et leurs notes à l'examen (y). Les moyennes sont x̄ = 6 heures et ȳ = 75 points :
| x (heures) | y (note) | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 65 | −4 | −10 | 40 |
| 4 | 70 | −2 | −5 | 10 |
| 6 | 72 | 0 | −3 | 0 |
| 8 | 81 | 2 | 6 | 12 |
| 10 | 87 | 4 | 12 | 48 |
Somme des produits : 110.
Covariance d'échantillon = 110 ÷ (5 − 1) = 27,5 ; covariance de population = 110 ÷ 5 = 22. Tous les produits sont nuls ou positifs, donc le signe est clairement positif : les étudiants qui ont davantage révisé ont obtenu de meilleures notes. En divisant la covariance par la variance de x, 10, on obtient aussi la pente de la droite de régression — 2,75 points de plus par heure supplémentaire.
Pourquoi l'ampleur d'une covariance est difficile à interpréter
La covariance s'exprime en unités de x multipliées par des unités de y — ici, en heures-points. Si l'on mesure le temps de révision en minutes au lieu d'heures, la covariance passe de 27,5 à 1 650, alors que la relation n'a pas changé. Le signe d'une covariance a donc un sens, mais son ampleur ne permet pas de dire si une relation est forte ou faible, et l'on ne peut pas comparer des covariances d'études utilisant des unités différentes.
La corrélation règle ce problème en divisant par les deux écarts-types : r = sxy ÷ (sx × sy) = 27,5 ÷ (3,1623 × 8,86) ≈ 0,98, que l'on mesure en heures ou en minutes. Lorsque vous voulez dire dans quelle mesure deux variables sont liées, indiquez r — le Calculateur de corrélation le donne avec une interprétation — et gardez la covariance pour les formules qui en ont besoin, comme les pentes de régression ou la variance d'un portefeuille.
Questions fréquentes
- Que dit la covariance ?
- Elle indique le sens de la relation linéaire entre deux variables. Une covariance positive signifie qu'elles tendent à augmenter ensemble, une covariance négative qu'une variable tend à diminuer quand l'autre augmente, et une valeur proche de zéro qu'il n'y a aucune tendance linéaire. Son ampleur dépend des unités, elle ne mesure donc pas la force d'une relation.
- Quelle est la différence entre covariance et corrélation ?
- La corrélation est la covariance ramenée aux deux écarts-types, ce qui la rend sans unité et la confine entre −1 et +1. La covariance a le même signe que la corrélation mais peut prendre n'importe quelle valeur ; seule la corrélation peut donc être comparée d'un jeu de données à l'autre ou qualifiée de faible ou de forte.
- Faut-il utiliser la covariance d'échantillon ou de population ?
- Utilisez la covariance d'échantillon, en divisant par n − 1, lorsque vos données sont un échantillon et que vous voulez estimer la relation dans une population plus grande — presque toujours le cas en recherche. Utilisez la covariance de population, en divisant par n, seulement lorsque vous disposez de tous les membres de la population. Les fonctions de covariance d'Excel font la même distinction (COVARIANCE.S et COVARIANCE.P dans la version anglaise).
- La covariance peut-elle être négative ?
- Oui. Une covariance négative signifie que les valeurs au-dessus de la moyenne d'une variable tendent à coïncider avec des valeurs en dessous de la moyenne de l'autre — par exemple, les heures passées devant un écran et les heures de sommeil. Sa valeur n'est bornée ni par le bas ni par le haut.
- Une covariance nulle signifie-t-elle que les variables sont indépendantes ?
- Non. Une covariance nulle signifie qu'il n'y a pas de relation linéaire. Des variables peuvent être fortement liées de façon courbe — y = x² sur un intervalle symétrique autour de zéro en est l'exemple classique — tout en ayant une covariance exactement nulle. Des variables indépendantes ont toujours une covariance nulle.
- Quel est le lien entre la covariance et la pente de régression ?
- La pente des moindres carrés de y sur x est la covariance divisée par la variance de x : b = covariance(x, y) ÷ variance(x). Dans l'exemple détaillé, cela donne 27,5 ÷ 10 = 2,75 points par heure, la même pente que celle que donne le Calculateur de régression linéaire pour ces données.