Kalkulator kowariancji
Wklej sparowane wartości x i y, a otrzymasz kowariancję próbkową (dzieląc przez n − 1) i kowariancję populacyjną (dzieląc przez n), wraz z tabelą każdego odchylenia i iloczynu. Kalkulator wyjaśnia, co mówi znak, dlaczego wielkości kowariancji trudno odczytać samodzielnie, i podaje obok współczynnik r Pearsona.
0 wartości
0 wartości
Wpisz co najmniej dwie pary (x, y), aby obliczyć kowariancję.
Jak korzystać z kalkulatora kowariancji
- 1. Wpisz pary. Wpisz wartości x i wartości y jako dwie listy w tej samej kolejności albo przełącz się na jedną parę „x, y” w wierszu. Ten tryb wygodnie działa przy wklejaniu dwóch kolumn z arkusza kalkulacyjnego.
- 2. Sprawdź liczbę. Obie listy muszą mieć tę samą liczbę wartości; każde x jest sparowane z y na tej samej pozycji.
- 3. Odczytaj obie kowariancje. Użyj kowariancji próbkowej, gdy Twoje dane są próbą z większej populacji, czyli typowym przypadkiem w badaniach, a kowariancji populacyjnej, gdy Twoje pary stanowią całą populację.
- 4. Prześledź tabelę. Każdy wiersz pokazuje dwa odchylenia od średnich i ich iloczyn; iloczyny sumują się do licznika wzoru.
Wzór na kowariancję
Kowariancja mierzy, czy dwie zmienne zmieniają się razem. Dla każdej pary bierzemy, jak daleko x leży od swojej średniej, i jak daleko y leży od swojej średniej, po czym mnożymy. Iloczyn jest dodatni, gdy oba leżą powyżej swoich średnich albo oba poniżej, a ujemny, gdy jedno leży powyżej, a drugie poniżej. Uśrednienie iloczynów daje kowariancję:
Próbkowa
sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (n − 1)
Populacyjna
σxy = Σ(x − μx)(y − μy) ÷ N
Wersja próbkowa dzieli przez n − 1 z tego samego powodu co wariancja próbkowa: odchylenia od średnich z próby są nieco zbyt małe, a n − 1 to koryguje. Kowariancja zmiennej z samą sobą to jej wariancja.
Przykład krok po kroku
Pięciu studentów podaje liczbę godzin powtórek (x) i wynik z egzaminu (y). Średnie wynoszą x̄ = 6 godzin i ȳ = 75 punktów:
| x (godziny) | y (wynik) | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 65 | −4 | −10 | 40 |
| 4 | 70 | −2 | −5 | 10 |
| 6 | 72 | 0 | −3 | 0 |
| 8 | 81 | 2 | 6 | 12 |
| 10 | 87 | 4 | 12 | 48 |
Suma iloczynów: 110.
Kowariancja próbkowa = 110 ÷ (5 − 1) = 27,5; kowariancja populacyjna = 110 ÷ 5 = 22. Każdy iloczyn jest zerowy lub dodatni, więc znak jest wyraźnie dodatni: studenci, którzy więcej powtarzali, osiągali lepsze wyniki. Podzielenie kowariancji przez wariancję x, czyli 10, daje też współczynnik kierunkowy prostej regresji: 2,75 punktu za każdą dodatkową godzinę.
Dlaczego wielkość kowariancji trudno zinterpretować
Kowariancja wyraża się w jednostkach x razy jednostkach y, tutaj w godzino-punktach. Zapisz czas powtórek w minutach zamiast w godzinach, a kowariancja skoczy z 27,5 do 1650, mimo że związek się nie zmienił. Znak kowariancji ma więc znaczenie, ale jej wielkość nie mówi, czy związek jest silny, czy słaby, i nie da się porównywać kowariancji z różnych badań o różnych jednostkach.
Korelacja to naprawia, dzieląc przez obydwa odchylenia standardowe: r = sxy ÷ (sx × sy) = 27,5 ÷ (3,1623 × 8,86) ≈ 0,98, tak samo w godzinach, jak i w minutach. Gdy chcesz powiedzieć, jak silnie dwie zmienne są ze sobą związane, podaj r. Kalkulator korelacji podaje go wraz z interpretacją. Kowariancję zachowaj dla wzorów, które jej potrzebują, takich jak współczynniki regresji czy wariancja portfela.
Najczęstsze pytania
- Co mówi kowariancja?
- Mówi o kierunku liniowego związku między dwiema zmiennymi. Dodatnia kowariancja oznacza, że zmienne zwykle rosną razem, ujemna, że jedna maleje, gdy druga rośnie, a wartość bliska zeru oznacza brak wzorca liniowego. Jej wielkość zależy od jednostek, więc nie mierzy siły związku.
- Czym różni się kowariancja od korelacji?
- Korelacja to kowariancja przeskalowana przez dwa odchylenia standardowe, co czyni ją bezjednostkową i zamyka w przedziale od −1 do +1. Kowariancja ma ten sam znak co korelacja, ale może mieć dowolną wielkość, więc tylko korelacją można porównywać zbiory danych lub oceniać, czy związek jest słaby, czy silny.
- Której kowariancji użyć: próbkowej czy populacyjnej?
- Kowariancji próbkowej, dzielącej przez n − 1, gdy Twoje dane są próbą i chcesz oszacować związek w większej populacji, czyli niemal zawsze w badaniach. Kowariancji populacyjnej, dzielącej przez n, tylko wtedy, gdy masz całą populację. Funkcje COVARIANCE.S i COVARIANCE.P w Excelu odpowiadają tym samym wariantom.
- Czy kowariancja może być ujemna?
- Tak. Ujemna kowariancja oznacza, że powyżej średnich wartości jednej zmiennej zwykle występują z poniżej średnimi wartościami drugiej, na przykład godziny spędzone przed ekranem i godziny snu. Nie ma dolnej ani górnej granicy jej wielkości.
- Czy zerowa kowariancja oznacza, że zmienne są niezależne?
- Nie. Zerowa kowariancja oznacza brak związku liniowego. Zmienne mogą być silnie powiązane w sposób krzywoliniowy (y = x² w przedziale symetrycznym wokół zera to klasyczny przykład) i mimo to mieć kowariancję dokładnie zero. Zmienne niezależne zawsze mają kowariancję zero.
- Jak kowariancja wiąże się ze współczynnikiem kierunkowym regresji?
- Współczynnik kierunkowy najmniejszych kwadratów y względem x to kowariancja podzielona przez wariancję x: b = kowariancja(x, y) ÷ wariancja(x). W przykładzie to 27,5 ÷ 10 = 2,75 punktu za godzinę, czyli ten sam współczynnik, który podaje Kalkulator regresji liniowej dla tych danych.