공분산 계산기
짝지은 x와 y 값을 붙여넣으면 표본 공분산(n − 1로 나눔)과 모집단 공분산(n으로 나눔)을, 모든 편차와 곱을 담은 표와 함께 구해 줍니다. 계산기는 부호가 무엇을 뜻하는지, 공분산의 크기가 그 자체로는 왜 읽기 어려운지 설명하고, 피어슨 r도 함께 제시합니다.
0 개의 값
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공분산을 계산하려면 (x, y) 쌍을 두 개 이상 입력하세요.
공분산 계산기 사용 방법
- 1. 쌍을 입력하세요. x 값과 y 값을 같은 순서의 두 목록으로 입력하거나, 한 줄에 “x, y” 쌍 하나씩 입력하는 방식으로 바꾸세요. 스프레드시트의 두 열을 붙여넣을 때 편리합니다.
- 2. 개수를 확인하세요. 두 목록에는 같은 수의 값이 있어야 하며, 각 x는 같은 위치의 y와 짝을 이룹니다.
- 3. 두 공분산을 읽으세요. 더 큰 모집단에서 뽑은 표본이라면(연구에서 흔한 경우) 표본 공분산을, 쌍이 모집단 전체라면 모집단 공분산을 쓰세요.
- 4. 표를 따라가세요. 각 행은 두 편차(평균과의 차이)와 그 곱을 보여 주며, 곱들의 합이 공식의 분자가 됩니다.
공분산 공식
공분산은 두 변수가 함께 움직이는지를 잽니다. 각 쌍마다 x가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지와 y가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 구해 곱합니다. 두 값이 모두 평균보다 크거나 모두 작으면 곱은 양수이고, 한쪽은 크고 다른 쪽은 작으면 음수입니다. 곱들의 평균이 공분산입니다:
표본
sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (n − 1)
모집단
σxy = Σ(x − μx)(y − μy) ÷ N
표본 공식은 표본 분산과 같은 이유로 n − 1로 나눕니다. 표본 평균에서 잰 편차는 약간 작게 나오는데, n − 1이 그 편향을 보정합니다. 사실 한 변수를 자기 자신과 곱한 공분산이 곧 그 분산입니다.
실제 예시
다섯 명의 학생이 복습 시간(x)과 시험 점수(y)를 보고했습니다. 평균은 x̄ = 6시간, ȳ = 75점입니다:
| x (시간) | y (점수) | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 65 | −4 | −10 | 40 |
| 4 | 70 | −2 | −5 | 10 |
| 6 | 72 | 0 | −3 | 0 |
| 8 | 81 | 2 | 6 | 12 |
| 10 | 87 | 4 | 12 | 48 |
곱의 합: 110.
표본 공분산 = 110 ÷ (5 − 1) = 27.5, 모집단 공분산 = 110 ÷ 5 = 22입니다. 모든 곱이 0 또는 양수이므로 부호는 분명히 양수입니다. 복습을 많이 한 학생일수록 점수가 높았습니다. x의 분산인 10으로 나누면 회귀선의 기울기도 나오는데, 복습 시간 1시간당 2.75점입니다.
공분산의 크기가 해석하기 어려운 이유
공분산은 x의 단위에 y의 단위를 곱한 값, 여기서는 시간과 점수의 곱으로 측정됩니다. 복습 시간을 시간 대신 분으로 기록하면 공분산은 27.5에서 1,650으로 뛰지만, 관계 자체는 전혀 바뀌지 않았습니다. 따라서 공분산의 부호는 의미가 있지만, 그 크기로는 관계가 강한지 약한지 알 수 없고, 단위가 다른 연구끼리는 공분산을 비교할 수 없습니다.
상관은 두 표준편차로 나누어 이 문제를 해결합니다. r = sxy ÷ (sx × sy) = 27.5 ÷ (3.1623 × 8.86) ≈ 0.98이며, 시간으로 재든 분으로 재든 같습니다. 두 변수가 얼마나 강하게 관련되었는지 말하고 싶다면 r을 보고하세요. 상관계수 계산기가 해석과 함께 값을 제공합니다. 공분산은 회귀 기울기나 포트폴리오 분산처럼 공분산이 필요한 공식에 쓰세요.
자주 묻는 질문
- 공분산은 무엇을 알려 주나요?
- 두 변수 사이 선형 관계의 방향을 알려 줍니다. 양의 공분산은 함께 올라가는 경향, 음의 공분산은 하나가 오를 때 다른 하나가 내려가는 경향을 뜻하며, 0 가까이는 선형 패턴이 없다는 뜻입니다. 크기는 단위에 따라 달라지므로 강도를 재지는 못합니다.
- 공분산과 상관은 어떻게 다른가요?
- 상관은 공분산을 두 표준편차로 나눈 값으로, 단위가 없고 −1과 +1 사이로 제한됩니다. 공분산은 상관과 같은 부호를 갖지만 어떤 크기도 될 수 있으므로, 데이터셋 간 비교나 강도 해석은 상관으로만 가능합니다.
- 표본 공분산과 모집단 공분산 중 무엇을 써야 하나요?
- 데이터가 표본이고 더 큰 모집단의 관계를 추정하려는 경우, 즉 연구에서 거의 항상 그렇듯이 n − 1로 나누는 표본 공분산을 쓰세요. 모집단의 모든 구성원을 가지고 있을 때만 n으로 나누는 모집단 공분산을 쓰세요. 엑셀의 COVARIANCE.S와 COVARIANCE.P도 같은 구분을 합니다.
- 공분산은 음수가 될 수 있나요?
- 네. 음의 공분산은 한 변수의 평균보다 큰 값이 다른 변수의 평균보다 작은 값과 함께 나타나는 경향을 뜻합니다. 예를 들어 화면 사용 시간과 수면 시간이 그렇습니다. 크기에는 위아래 한계가 없습니다.
- 공분산이 0이면 두 변수는 독립인가요?
- 아닙니다. 공분산이 0이면 선형 관계가 없다는 뜻입니다. 두 변수가 곡선 형태로 강하게 관련되어 있어도 공분산은 정확히 0일 수 있습니다. 0을 중심으로 대칭인 구간에서의 y = x²이 고전적인 예입니다. 독립인 변수의 공분산은 항상 0이지만, 그 역은 성립하지 않습니다.
- 공분산은 회귀 기울기와 어떤 관계인가요?
- y를 x에 대해 최소제곱으로 회귀한 기울기는 공분산을 x의 분산으로 나눈 값입니다: b = 공분산(x, y) ÷ 분산(x). 예시에서는 27.5 ÷ 10 = 시간당 2.75점이며, 같은 데이터에 대해 선형 회귀 계산기가 보고하는 기울기와 같습니다.