Calcolatore di covarianza
Incolla valori accoppiati di x e y e ottieni la covarianza campionaria (dividendo per n − 1) e quella della popolazione (dividendo per n), con una tabella di ogni scarto e prodotto. Il calcolatore spiega che cosa indica il segno e perché l'entità di una covarianza è difficile da leggere da sola, e affianca l'r di Pearson.
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Inserisci almeno due coppie (x, y) per calcolare la covarianza.
Come usare il calcolatore di covarianza
- 1. Inserisci le coppie. Scrivi i valori di x e di y come due liste nello stesso ordine, oppure passa a una coppia «x, y» per riga, comoda quando incolli due colonne da un foglio di calcolo.
- 2. Controlla il numero. Entrambe le liste devono avere lo stesso numero di valori; ogni x è accoppiata alla y nella stessa posizione.
- 3. Leggi entrambe le covarianze. Usa la covarianza campionaria per un campione tratto da una popolazione più grande, il caso più comune nella ricerca, e quella della popolazione quando le tue coppie costituiscono l'intera popolazione.
- 4. Segui la tabella. Ogni riga mostra i due scarti dalle medie e il loro prodotto; i prodotti sommati danno il numeratore della formula.
La formula della covarianza
La covarianza misura se due variabili si muovono insieme. Per ogni coppia, prendi quanto x dista dalla propria media e quanto y dista dalla propria, e moltiplica. Il prodotto è positivo quando entrambe sono sopra o entrambe sotto le rispettive medie, e negativo quando una è sopra e l'altra sotto. Facendo la media dei prodotti si ottiene la covarianza:
Campionaria
sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (n − 1)
Della popolazione
σxy = Σ(x − μx)(y − μy) ÷ N
La versione campionaria divide per n − 1 per la stessa ragione per cui lo fa la varianza campionaria: gli scarti dalle medie campionarie risultano leggermente piccoli, e n − 1 corregge questa distorsione. Di fatto, la covarianza di una variabile con se stessa è la sua varianza.
Esempio svolto
Cinque studenti riportano le ore di ripasso (x) e i punteggi all'esame (y). Le medie sono x̄ = 6 ore e ȳ = 75 punti:
| x (ore) | y (punteggio) | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 65 | −4 | −10 | 40 |
| 4 | 70 | −2 | −5 | 10 |
| 6 | 72 | 0 | −3 | 0 |
| 8 | 81 | 2 | 6 | 12 |
| 10 | 87 | 4 | 12 | 48 |
Somma dei prodotti: 110.
Covarianza campionaria = 110 ÷ (5 − 1) = 27,5; covarianza della popolazione = 110 ÷ 5 = 22. Ogni prodotto è zero o positivo, quindi il segno è chiaramente positivo: chi ha ripassato di più ha ottenuto un punteggio più alto. Dividendo la covarianza per la varianza di x, cioè 10, si ottiene anche la pendenza della retta di regressione: 2,75 punti per ogni ora in più.
Perché l'entità di una covarianza è difficile da interpretare
La covarianza è misurata in unità di x per unità di y: qui, ore per punti. Se registri il tempo di ripasso in minuti anziché in ore, la covarianza passa da 27,5 a 1.650, anche se nulla nella relazione è cambiato. Quindi il segno di una covarianza è significativo, ma la sua entità non dice se una relazione è forte o debole, e le covarianze non si possono confrontare tra studi con unità diverse.
La correlazione risolve il problema dividendo per entrambe le deviazioni standard: r = sxy ÷ (sx × sy) = 27,5 ÷ (3,1623 × 8,86) ≈ 0,98, sia in ore sia in minuti. Quando vuoi dire quanto fortemente due variabili sono legate, riporta r — il Calcolatore di Correlazione la fornisce con un'interpretazione — e conserva la covarianza per le formule che la richiedono, come le pendenze di regressione e la varianza di un portafoglio.
Domande frequenti
- Che cosa indica la covarianza?
- Indica la direzione della relazione lineare tra due variabili. Una covarianza positiva significa che tendono a salire insieme, una negativa che una tende a scendere mentre l'altra sale, e un valore vicino a zero indica l'assenza di uno schema lineare. La sua entità dipende dalle unità di misura, quindi non misura la forza della relazione.
- Qual è la differenza tra covarianza e correlazione?
- La correlazione è la covarianza riscalata con le due deviazioni standard, il che la rende adimensionale e la confina tra −1 e +1. La covarianza ha lo stesso segno della correlazione ma può avere qualsiasi entità, quindi solo la correlazione può essere confrontata tra dataset o letta come debole o forte.
- Devo usare la covarianza campionaria o quella della popolazione?
- Usa la covarianza campionaria, dividendo per n − 1, quando i tuoi dati sono un campione e vuoi stimare la relazione in una popolazione più grande, quasi sempre il caso nella ricerca. Usa la covarianza della popolazione, dividendo per n, solo quando hai ogni membro della popolazione. Le funzioni COVARIANCE.S e COVARIANCE.P di Excel fanno la stessa distinzione.
- La covarianza può essere negativa?
- Sì. Una covarianza negativa significa che valori sopra la media di una variabile tendono a presentarsi insieme a valori sotto la media dell'altra, ad esempio ore di uso dello schermo e ore di sonno. Non esistono limiti inferiori o superiori alla sua entità.
- Una covarianza pari a zero significa che le variabili sono indipendenti?
- No. Una covarianza nulla indica l'assenza di una relazione lineare. Le variabili possono essere fortemente legate in modo curvo (y = x² su un intervallo simmetrico rispetto a zero è il caso classico) e avere comunque una covarianza esattamente zero. Le variabili indipendenti hanno sempre covarianza zero.
- Come si collega la covarianza alla pendenza di regressione?
- La pendenza dei minimi quadrati di y su x è la covarianza divisa per la varianza di x: b = covarianza(x, y) ÷ varianza(x). Nell'esempio svolto è 27,5 ÷ 10 = 2,75 punti per ora, la stessa pendenza che il Linear Regression Calculator riporta per quei dati.