Calcolatore della media geometrica
Trova la media geometrica di numeri positivi, oppure trasforma una serie di variazioni percentuali — +10%, −5%, +20% — nel vero tasso di crescita medio per periodo. Il procedimento mostra il metodo dei logaritmi passo per passo, e le medie armonica e aritmetica sono affiancate, così puoi vedere quale media richiedono i tuoi dati.
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Come usare il calcolatore della media geometrica
- 1. Scegli che cosa stai mediando. Valori positivi come rapporti, concentrazioni o prezzi, oppure variazioni percentuali da un periodo al successivo.
- 2. Inserisci i numeri. Per le variazioni, scrivi 10 per +10% e -5 per −5%; va bene anche il segno %.
- 3. Leggi il risultato. I valori danno la media geometrica con le medie armonica e aritmetica per confronto; le variazioni danno la crescita media per periodo, la media semplice fuorviante e la variazione totale.
- 4. Controlla il procedimento. Sono mostrati il metodo dei logaritmi, la forma con il prodotto e una verifica che il tasso medio riproduca il totale.
La formula della media geometrica
La media aritmetica somma i valori e divide per n. La media geometrica li moltiplica e ne prende la radice n-esima:
Definizione
MG = (x₁ × x₂ × … × xₙ)1/n
Metodo dei logaritmi
MG = exp((ln x₁ + ln x₂ + … + ln xₙ) ÷ n)
Per 2 e 8, MG = √(2 × 8) = √16 = 4, mentre la media aritmetica è 5. Per i dati d'esempio — 12, 18, 30, 45 e 200 — il prodotto è 58.320.000 e la sua radice quinta è 35,74, mentre la media aritmetica di 61 è spinta verso l'alto dal singolo valore grande. Il calcolatore usa il metodo dei logaritmi perché è lo stesso numero calcolato in modo sicuro: il prodotto di qualche centinaio di valori ordinari supera il limite di calcolo, ma la somma dei loro logaritmi non lo supera mai.
Tassi di crescita medi: perché la media geometrica è quella giusta
La crescita si compone, quindi le variazioni si moltiplicano. Una quantità che cresce del 10%, cala del 5% e cresce del 20% viene moltiplicata per 1,10 × 0,95 × 1,20 = 1,254 — un aumento totale del 25,4%. Il tasso costante che dà lo stesso totale è la media geometrica dei fattori di crescita meno uno: 1,2541/3 − 1 = 7,84% per periodo.
La media semplice delle tre variazioni, 8,33%, la sovrastima: 1,0833 al cubo fa 1,2714, quindi trasformerebbe 100 in 127,14 invece dei 125,40 effettivi. Il divario diventa drammatico con variazioni volatili. Un aumento del 50% seguito da un calo del 50% dà in media 0%, eppure 100 diventa 150 e poi 75 — la media geometrica riporta la verità, −13,4% per periodo. È lo stesso calcolo di un tasso di crescita annuo composto (CAGR).
Quale media usare?
| Media | Usala per | Esempio |
|---|---|---|
| Aritmetica | Quantità che si sommano | Punteggi di test, altezze, temperature giornaliere |
| Geometrica | Quantità che si moltiplicano, o dati che coprono più ordini di grandezza | Tassi di crescita, rendimenti di investimenti, rapporti, numeri indice |
| Armonica | Tassi misurati su una quantità fissa di qualcosa | Velocità media su distanze uguali, rapporti prezzo-utili, il punteggio F1 |
La media armonica è n ÷ Σ(1/x). Se vai a 60 km/h e torni a 40 km/h sulla stessa distanza, la tua velocità media è 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 km/h, non 50 — hai passato più tempo alla velocità più bassa. Per qualsiasi dato positivo le tre medie seguono l'ordine armonica ≤ geometrica ≤ aritmetica.
Domande frequenti
- A cosa serve la media geometrica?
- Serve a mediare quantità che si combinano per moltiplicazione: tassi di crescita e rendimenti di investimenti su più periodi, rapporti e variazioni di fold, e dati positivi asimmetrici che coprono più ordini di grandezza, come conteggi batterici o titoli anticorpali. In ogni caso dà il valore moltiplicativo tipico, che la media aritmetica sovrastima.
- Come si calcola la media geometrica?
- Moltiplica tra loro gli n valori e prendi la radice n-esima del prodotto. In modo equivalente, fai la media dei logaritmi naturali dei valori ed esponenzia il risultato, che è il modo in cui lo fanno calcolatrici e software. Per 4, 9 e 6 il prodotto è 216, e la radice cubica di 216 è 6.
- Perché la media geometrica non può usare zero o numeri negativi?
- Un solo zero rende nullo l'intero prodotto, qualunque siano gli altri valori, e il logaritmo di zero o di un numero negativo non è definito. Con valori negativi la radice potrebbe non essere nemmeno un numero reale. Per questo i tassi di crescita si convertono in fattori come 0,95 per −5%: i fattori restano positivi a meno che una variazione non raggiunga −100%.
- Come si calcola un tasso di crescita medio?
- Converti ogni variazione percentuale in un fattore di crescita (1 + variazione ÷ 100), moltiplica i fattori, prendi la radice n-esima e sottrai 1. Per +10%, −5% e +20% dà 1,254^(1/3) − 1 = 7,84% per periodo. Se conosci solo i valori iniziale e finale, la stessa idea dà CAGR = (finale ÷ iniziale)^(1/n) − 1.
- La media geometrica è sempre minore della media aritmetica?
- Non è mai maggiore. Per numeri positivi la media geometrica è minore o uguale alla media aritmetica, e le due sono uguali solo quando tutti i valori sono uguali. Più i valori sono dispersi, più grande è il divario.
- Quando dovrei usare la media armonica?
- Usala per mediare tassi quando la quantità tenuta fissa sta al denominatore del tasso: velocità media su distanze uguali, prezzo medio pagato quando si spendono ogni volta importi uguali, o rapporti prezzo-utili medi. Il punteggio F1 del machine learning è la media armonica di precisione e recall, e impedisce che un valore alto nasconda uno basso.