Calculadora de media geométrica
Calcula la media geométrica de números positivos, o convierte una serie de variaciones porcentuales —+10 %, −5 %, +20 %— en la tasa de crecimiento promedio real por periodo. El cálculo muestra el método logarítmico paso a paso, y las medias armónica y aritmética aparecen junto a ella para que veas qué promedio necesitan tus datos.
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Cómo usar la calculadora de media geométrica
- 1. Elige qué promedias. Valores positivos, como razones, concentraciones o precios, o variaciones porcentuales de un periodo al siguiente.
- 2. Escribe los números. Para las variaciones, escribe 10 para +10 % y -5 para −5 %; el signo % también sirve.
- 3. Lee el resultado. Los valores dan la media geométrica, con las medias armónica y aritmética para comparar; las variaciones dan el crecimiento promedio por periodo, la media simple engañosa y el cambio total.
- 4. Comprueba el cálculo. Se muestran el método logarítmico, la forma del producto y una comprobación de que la tasa promedio reproduce el total.
La fórmula de la media geométrica
La media aritmética suma los valores y divide entre n. La media geométrica los multiplica y toma la raíz n-ésima:
Definición
MG = (x₁ × x₂ × … × xₙ)1/n
Método logarítmico
MG = exp((ln x₁ + ln x₂ + … + ln xₙ) ÷ n)
Para 2 y 8, MG = √(2 × 8) = √16 = 4, donde la media aritmética es 5. Para los datos del ejemplo —12, 18, 30, 45 y 200—, el producto es 58.320.000 y su raíz quinta es 35,74, mientras que la media aritmética de 61 se ve empujada hacia arriba por el único valor grande. La calculadora usa el método logarítmico porque es el mismo número calculado de forma segura: el producto de unos cientos de valores corrientes desborda, pero la suma de sus logaritmos nunca lo hace.
Tasas de crecimiento promedio: por qué la media geométrica es la correcta
El crecimiento se compone, así que los cambios se multiplican. Una cantidad que crece un 10 %, baja un 5 % y sube un 20 % se multiplica por 1,10 × 0,95 × 1,20 = 1,254 —un aumento total del 25,4 %—. La tasa constante que da el mismo total es la media geométrica de los factores de crecimiento menos uno: 1,2541/3 − 1 = 7,84 % por periodo.
La media simple de los tres cambios, 8,33 %, lo sobrestima: 1,0833 al cubo es 1,2714, así que convertiría 100 en 127,14 en lugar de los 125,40 que realmente tienes. La diferencia se vuelve dramática con cambios volátiles. Una subida del 50 % seguida de una bajada del 50 % promedia 0 %, pero 100 se convierte en 150 y luego en 75: la media geométrica informa la verdad, −13,4 % por periodo. Es el mismo cálculo que una tasa de crecimiento anual compuesta (TCAC, o CAGR en inglés).
¿Qué media debes usar?
| Media | Úsala para | Ejemplo |
|---|---|---|
| Aritmética | Cantidades que se suman | Notas de exámenes, alturas, temperaturas diarias |
| Geométrica | Cantidades que se multiplican, o datos que abarcan varios órdenes de magnitud | Tasas de crecimiento, rentabilidades de inversiones, razones, números índice |
| Armónica | Tasas medidas sobre una cantidad fija de algo | Velocidad media en distancias iguales, razones precio-beneficio, la puntuación F1 |
La media armónica es n ÷ Σ(1/x). Si vas a 60 km/h y vuelves a 40 km/h por la misma distancia, tu velocidad media es 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 km/h, no 50: pasaste más tiempo a la velocidad más baja. Para cualquier dato positivo, las tres medias cumplen el orden: armónica ≤ geométrica ≤ aritmética.
Preguntas frecuentes
- ¿Para qué se usa la media geométrica?
- Promedia cantidades que se combinan por multiplicación: tasas de crecimiento y rentabilidades de inversiones a lo largo de varios periodos, razones y cambios de pliegue, y datos positivos y asimétricos que abarcan varios órdenes de magnitud, como recuentos bacterianos o títulos de anticuerpos. En cada caso da el valor multiplicativo típico, que la media aritmética sobrestima.
- ¿Cómo se calcula la media geométrica?
- Multiplica los n valores y toma la raíz n-ésima del producto. De forma equivalente, promedia los logaritmos naturales de los valores y aplica la exponencial al resultado, que es como lo hacen las calculadoras y el software. Para 4, 9 y 6, el producto es 216, y la raíz cúbica de 216 es 6.
- ¿Por qué la media geométrica no admite cero ni números negativos?
- Un solo cero hace que todo el producto sea cero, sean cuales sean los demás valores, y el logaritmo de cero o de un número negativo no está definido. Con valores negativos, la raíz puede ni siquiera ser un número real. Por eso las tasas de crecimiento se convierten en factores como 0,95 para −5 %: los factores siguen siendo positivos salvo que un cambio llegue a −100 %.
- ¿Cómo se calcula una tasa de crecimiento promedio?
- Convierte cada variación porcentual en un factor de crecimiento (1 + variación ÷ 100), multiplica los factores, toma la raíz n-ésima y resta 1. Para +10 %, −5 % y +20 %, eso es 1,254^(1/3) − 1 = 7,84 % por periodo. Si solo conoces los valores inicial y final, la misma idea da TCAC = (final ÷ inicial)^(1/n) − 1.
- ¿La media geométrica es siempre menor que la aritmética?
- Nunca es mayor. Para números positivos, la media geométrica es menor o igual que la aritmética, y son iguales solo cuando todos los valores son iguales. Cuanto más dispersos están los valores, mayor es la diferencia.
- ¿Cuándo debo usar la media armónica?
- Úsala para promediar tasas cuando lo que se mantiene fijo está en el denominador de la tasa: velocidad media en distancias iguales, precio medio pagado cuando se gasta la misma cantidad cada vez, o razones precio-beneficio medias. La puntuación F1 del aprendizaje automático es la media armónica de la precisión y la exhaustividad (recall), lo que evita que un valor alto oculte uno bajo.