Calculadora del teorema de Bayes

También funcionan fracciones como 1/250 y valores con el signo %.

Cómo usar la calculadora del teorema de Bayes

1. 1. Elige lo que sabes. Normalmente la probabilidad a priori P(A), la probabilidad de la evidencia si A es verdadera, P(B|A), y si A es falsa, P(B|no A). Si conoces en cambio la P(B) total, cambia a la segunda opción.
2. 2. Elige porcentajes o decimales. En modo porcentaje, escribe 1 para el 1 %; en modo decimal, 0,01. Las fracciones, como 1/250, funcionan en ambos.
3. 3. Lee P(A|B). La probabilidad a posteriori aparece junto con P(B) y con las probabilidades tras un resultado negativo, P(A|no B) y P(no A|no B).
4. 4. Revisa la tabla de personas. Los mismos números expresados como recuentos sobre 1.000, 10.000 o 100.000 personas muestran de dónde sale la respuesta.

El teorema de Bayes

P(A) es la probabilidad a priori: qué tan probable era A antes de ver la evidencia. P(B|A) es la verosimilitud de la evidencia si A es verdadera, y P(B|no A) su verosimilitud si A es falsa. P(B) es la frecuencia con la que aparece la evidencia en total. El resultado, P(A|B), es la probabilidad a posteriori: qué tan probable es A ahora que has visto B. En una prueba diagnóstica, estas cantidades son la prevalencia, la sensibilidad, la tasa de falsos positivos (1 − especificidad) y el valor predictivo positivo.

El ejemplo clásico de una prueba médica

Una afección afecta al 1 % de las personas. Una prueba de cribado la detecta en el 90 % de los casos (sensibilidad), pero también da positivo en el 9 % de las personas que no la tienen. Alguien da positivo. ¿Qué probabilidad hay de que tenga la afección? Mucha gente responde algo cercano al 90 %. El teorema de Bayes dice: P(B) = 0,9 × 0,01 + 0,09 × 0,99 = 0,0981, así que P(A|B) = 0,009 ÷ 0,0981 = 9,17 %.

Contadas como personas, la respuesta se ve con facilidad: de los 981 resultados positivos, solo 90 provienen de personas con la afección, y 90 ÷ 981 = 9,17 %. La prueba no es mala: la afección es rara, así que el 9 % de falsos positivos entre 9.900 personas sanas supera a los verdaderos positivos entre 100 enfermas. Los psicólogos Gerd Gigerenzer y Ulrich Hoffrage (1995) demostraron que presentar los problemas como frecuencias naturales como estas hace que la gente razone con mucha más precisión que cuando se presentan como probabilidades.

Por qué importa tanto la probabilidad a priori

Mantén la misma prueba, pero aplícala donde la afección afecta al 10 % de los pacientes (una clínica especializada en lugar de un cribado poblacional), y un resultado positivo significa una probabilidad del 52,63 % de tenerla. O repite la prueba: si el primer positivo eleva la probabilidad al 9,17 %, usa ese valor como nueva probabilidad a priori, y un segundo resultado positivo (de una prueba independiente con la misma precisión) la eleva al 50,25 %. Por eso los programas de cribado confirman los positivos con una segunda prueba, y por eso la misma evidencia significa cosas distintas en poblaciones distintas.

Ignorar la probabilidad a priori es la falacia de la tasa base, y no es solo un problema médico. Los filtros de spam, la evidencia forense, las alertas de fraude y los clasificadores de aprendizaje automático se enfrentan todos a ella: cuando lo que buscas es raro, la mayoría de las alarmas son falsas aunque el detector sea bueno.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el teorema de Bayes en términos sencillos?

Es una regla para actualizar una probabilidad cuando obtienes nueva evidencia. Partes de cuán probable era algo antes (la probabilidad a priori), pesas cuánto más probable es la evidencia si es verdadero que si es falso, y obtienes la probabilidad actualizada (la probabilidad a posteriori). La fórmula es P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B).

¿Cuál es la diferencia entre P(A|B) y P(B|A)?

Responden preguntas opuestas. P(B|A) es la probabilidad de un resultado positivo si tienes la afección: la sensibilidad, el 90 % del ejemplo. P(A|B) es la probabilidad de tener la afección si das positivo: el 9,17 % del ejemplo. Confundir una con otra —la falacia de la condicional invertida o, en un juicio, la falacia del fiscal— es uno de los errores más comunes al razonar sobre pruebas.

¿Cómo calculo P(B) para el teorema de Bayes?

Normalmente se calcula con la ley de la probabilidad total: P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|no A) × (1 − P(A)). Ese es el primer modo de entrada de esta herramienta. Si ya conoces P(B), por ejemplo a partir de datos de encuestas, usa el segundo modo, y la calculadora obtiene la P(B|no A) implícita.

¿Qué son la sensibilidad y la especificidad?

La sensibilidad es la proporción de personas con la afección que dan positivo, P(positivo|afección). La especificidad es la proporción de personas sin ella que dan negativo, P(negativo|sin afección). La tasa de falsos positivos que pide esta calculadora es 1 − especificidad, así que una prueba con una especificidad del 91 % tiene una tasa de falsos positivos del 9 %.

¿Qué es la falacia de la tasa base?

Consiste en juzgar la probabilidad de algo según lo bien que encaja con la evidencia, sin tener en cuenta lo común que es en primer lugar. Con una afección rara, incluso un resultado positivo de una prueba precisa suele provenir de alguien que no la tiene, porque hay muchas más personas en ese grupo.

¿Puedo usar el teorema de Bayes con más de dos resultados?

Sí. Con varias hipótesis mutuamente excluyentes A₁, A₂, …, el denominador pasa a ser la suma de P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) de todas ellas. Esta calculadora maneja el caso habitual de dos resultados —A o no A—, que cubre las pruebas diagnósticas, el cribado y la mayoría de los problemas de libro de texto.