Calculateur du théorème de Bayes

Les fractions comme 1/250 et les valeurs avec le signe % fonctionnent aussi.

Comment utiliser le calculateur du théorème de Bayes

1. 1. Choisissez ce que vous savez. En général, la probabilité a priori P(A), la probabilité de la preuve B lorsque A est vrai, P(B|A), et lorsque A est faux, P(B|non A). Si vous connaissez plutôt la probabilité globale P(B), passez à la seconde option.
2. 2. Choisissez les pourcentages ou les décimales. En mode pourcentage, saisissez 1 pour 1 % ; en mode décimal, 0,01. Les fractions comme 1/250 fonctionnent dans les deux cas.
3. 3. Lisez P(A|B). La probabilité a posteriori s'affiche avec P(B) et les probabilités après un résultat négatif, P(A|non B) et P(non A|non B).
4. 4. Vérifiez le tableau des personnes. Les mêmes nombres exprimés en effectifs sur 1 000, 10 000 ou 100 000 personnes montrent d'où vient la réponse.

Le théorème de Bayes

P(A) est la probabilité a priori — la probabilité de A avant d'avoir vu la preuve. P(B|A) est la vraisemblance de la preuve si A est vrai, et P(B|non A) sa vraisemblance si A est faux. P(B) est la fréquence globale de la preuve. Le résultat, P(A|B), est la probabilité a posteriori : la probabilité de A maintenant que vous avez observé B. Dans un test diagnostique, ce sont la prévalence, la sensibilité, le taux de faux positifs (1 − spécificité) et la valeur prédictive positive.

L'exemple classique du test médical

Une maladie touche 1 % des personnes. Un test de dépistage la détecte dans 90 % des cas (sensibilité), mais il est aussi positif chez 9 % des personnes qui ne l'ont pas. Une personne obtient un résultat positif. Quelle est la probabilité qu'elle ait la maladie ? Beaucoup de gens répondent un chiffre proche de 90 %. Le théorème de Bayes donne : P(B) = 0,9 × 0,01 + 0,09 × 0,99 = 0,0981, donc P(A|B) = 0,009 ÷ 0,0981 = 9,17 %.

Compté en personnes, la réponse est facile à voir : sur les 981 résultats positifs, seuls 90 viennent de personnes malades, et 90 ÷ 981 = 9,17 %. Le test n'est pas mauvais — la maladie est rare, donc les 9 % de faux positifs parmi 9 900 personnes saines submergent les vrais positifs parmi 100 malades. Les psychologues Gerd Gigerenzer et Ulrich Hoffrage (1995) ont montré que présenter les problèmes sous forme de fréquences naturelles comme celles-ci améliore nettement le raisonnement, par rapport à la présentation de probabilités.

Pourquoi la probabilité a priori compte autant

Gardez le même test mais appliquez-le là où la maladie touche 10 % des patients — une clinique spécialisée plutôt qu'un dépistage de population — et un résultat positif signifie 52,63 % de chance d'avoir la maladie. Ou refaites le test : si le premier positif fait monter la probabilité à 9,17 %, utilisez ce chiffre comme nouvelle probabilité a priori, et un second résultat positif (d'un test indépendant de même précision) la porte à 50,25 %. C'est pourquoi les programmes de dépistage confirment les positifs par un second test, et pourquoi la même preuve n'a pas la même signification selon la population.

Ignorer la probabilité a priori est le biais du taux de base, et ce n'est pas seulement un problème médical. Les filtres anti-spam, les preuves judiciaires, les alertes de fraude et les classifieurs d'apprentissage automatique y sont tous confrontés : quand ce que vous cherchez est rare, la plupart des alertes sont fausses, même si le détecteur est bon.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le théorème de Bayes, en termes simples ?

C'est une règle pour mettre à jour une probabilité quand on obtient une nouvelle preuve. On part de la probabilité qu'une chose soit vraie avant (la probabilité a priori), on pèse à quel point la preuve est plus probable si elle est vraie que si elle est fausse, et l'on obtient la probabilité mise à jour (la probabilité a posteriori). La formule est P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B).

Quelle est la différence entre P(A|B) et P(B|A) ?

Elles répondent à des questions opposées. P(B|A) est la probabilité d'un test positif si l'on a la maladie — la sensibilité, 90 % dans l'exemple. P(A|B) est la probabilité d'avoir la maladie si le test est positif — 9,17 % dans l'exemple. Confondre les deux — le sophisme de la conditionnelle inversée, ou devant un tribunal le sophisme du procureur — est l'une des erreurs les plus courantes dans le raisonnement sur les preuves.

Comment trouver P(B) pour le théorème de Bayes ?

En général, on le calcule avec la loi des probabilités totales : P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|non A) × (1 − P(A)). C'est le premier mode de saisie ici. Si vous connaissez déjà P(B) — par exemple à partir de données d'enquête —, utilisez le second mode : le calculateur déduit la probabilité P(B|non A).

Qu'appelle-t-on sensibilité et spécificité ?

La sensibilité est la proportion de personnes malades qui ont un test positif, P(positif|malade). La spécificité est la proportion de personnes non malades qui ont un test négatif, P(négatif|non malade). Le taux de faux positifs demandé ici est 1 − spécificité : un test dont la spécificité est de 91 % a donc un taux de faux positifs de 9 %.

Qu'est-ce que le biais du taux de base ?

C'est juger la probabilité d'un événement d'après l'adéquation de la preuve, en ignorant à quel point cet événement est courant au départ. Pour une maladie rare, même un résultat positif issu d'un test précis vient en général d'une personne non malade, car elles sont beaucoup plus nombreuses.

Peut-on utiliser le théorème de Bayes avec plus de deux issues ?

Oui. Avec plusieurs hypothèses mutuellement exclusives A₁, A₂, …, le dénominateur devient la somme de P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) sur toutes. Ce calculateur traite le cas courant à deux issues — A ou non A —, qui couvre les tests diagnostiques, le dépistage et la plupart des exercices de manuel.