बेयस प्रमेय कैलकुलेटर

1/250 जैसे भिन्न, और % चिह्न वाले मान भी चलते हैं।

बेयस प्रमेय कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. चुनें कि आप क्या जानते हैं। आम तौर पर पूर्व प्रायिकता P(A), A सही होने पर साक्ष्य की प्रायिकता P(B|A), और A गलत होने पर P(B|not A)। यदि आप इसके बजाय समग्र P(B) जानते हैं, तो दूसरे विकल्प पर जाएँ।
2. 2. प्रतिशत या दशमलव चुनें। प्रतिशत मोड में 1% के लिए 1 लिखें; दशमलव मोड में 0.01। 1/250 जैसे भिन्न दोनों में चलते हैं।
3. 3. P(A|B) पढ़ें। पश्च प्रायिकता के साथ P(B) और नकारात्मक परिणाम के बाद की प्रायिकताएँ, P(A|not B) और P(not A|not B), भी दिखाई देती हैं।
4. 4. लोगों की तालिका देखें। 1,000, 10,000 या 100,000 लोगों में वही संख्याएँ गिनती के रूप में दिखाती हैं कि उत्तर कहाँ से आता है।

बेयस प्रमेय

P(A) पूर्व प्रायिकता है — साक्ष्य देखने से पहले A कितना संभव था। P(B|A) A सही होने पर साक्ष्य की संभाविता है, और P(B|not A) A गलत होने पर उसकी संभाविता। P(B) वह है कि साक्ष्य कुल मिलाकर कितनी बार आता है। परिणाम, P(A|B), पश्च प्रायिकता है: B देखने के बाद अब A कितना संभव है। नैदानिक परीक्षण में ये क्रमशः व्यापकता, संवेदनशीलता, झूठे-सकारात्मक दर (1 − विशिष्टता) और सकारात्मक पूर्वानुमानित मान हैं।

क्लासिक चिकित्सा-परीक्षण का उदाहरण

एक रोग 1% लोगों को होता है। एक स्क्रीनिंग परीक्षण 90% मामलों में उसे पकड़ता है (संवेदनशीलता), पर जिन लोगों को रोग नहीं है उनमें से 9% का परिणाम भी सकारात्मक आता है। कोई व्यक्ति सकारात्मक आता है। उसे सचमुच रोग होने की कितनी संभावना है? कई लोग लगभग 90% का अनुमान लगाते हैं। बेयस प्रमेय कहता है: P(B) = 0.9 × 0.01 + 0.09 × 0.99 = 0.0981, इसलिए P(A|B) = 0.009 ÷ 0.0981 = 9.17%।

व्यक्तियों के रूप में गिनने पर उत्तर साफ़ दिखता है: 981 सकारात्मक परिणामों में से केवल 90 ऐसे लोगों के हैं जिन्हें रोग है, और 90 ÷ 981 = 9.17%। परीक्षण बुरा नहीं है — रोग दुर्लभ है, इसलिए 9,900 स्वस्थ लोगों के 9% झूठे सकारात्मक, 100 बीमार लोगों के सच्चे सकारात्मकों पर भारी पड़ जाते हैं। मनोवैज्ञानिक गर्ड गिगेरेंज़र और उलरिश होफ़्राज (1995) ने दिखाया कि समस्याओं को इस तरह प्राकृतिक आवृत्तियों के रूप में प्रस्तुत करने से लोग प्रायिकताओं के रूप में प्रस्तुत करने की तुलना में कहीं अधिक सटीक तर्क करते हैं।

पूर्व प्रायिकता इतनी मायने क्यों रखती है

वही परीक्षण वहाँ लगाएँ जहाँ रोग 10% मरीज़ों को होता है — जनसंख्या-स्क्रीनिंग के बजाय विशेषज्ञ क्लिनिक — तो सकारात्मक परिणाम का अर्थ है 52.63% संभावना कि रोग है। या फिर दोबारा जाँच करें: यदि पहले सकारात्मक परिणाम ने प्रायिकता को 9.17% तक बढ़ाया, तो उसे नई पूर्व प्रायिकता मानें, और दूसरा सकारात्मक परिणाम (समान सटीकता वाले स्वतंत्र परीक्षण से) उसे 50.25% तक ले जाता है। इसीलिए स्क्रीनिंग कार्यक्रम सकारात्मक परिणामों की पुष्टि दूसरे परीक्षण से करते हैं, और इसीलिए एक ही साक्ष्य अलग-अलग जनसंख्याओं में अलग अर्थ रखता है।

पूर्व प्रायिकता को अनदेखा करना आधार-दर भ्रांति है, और यह केवल चिकित्सा की समस्या नहीं है। स्पैम फ़िल्टर, फ़ॉरेंसिक साक्ष्य, धोखाधड़ी की चेतावनियाँ और मशीन लर्निंग वर्गीकारक सभी इसका सामना करते हैं: जब जिस चीज़ को आप खोज रहे हैं वह दुर्लभ हो, तो अच्छा डिटेक्टर होने पर भी ज़्यादातर अलार्म गलत होते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सरल शब्दों में बेयस प्रमेय क्या है?

यह नया साक्ष्य मिलने पर प्रायिकता को अद्यतन करने का नियम है। पहले यह तय करें कि कोई बात शुरू में कितनी संभव थी (पूर्व प्रायिकता), फिर तोलें कि यदि वह सच है तो साक्ष्य कितना अधिक संभावित है, बनिस्बत इसके कि वह गलत है। इससे आपको अद्यतन प्रायिकता (पश्च प्रायिकता) मिलती है। सूत्र है P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B)।

P(A|B) और P(B|A) में क्या अंतर है?

ये दो उल्टे प्रश्नों के उत्तर देते हैं। P(B|A) रोग होने पर सकारात्मक परिणाम आने की संभावना है — उदाहरण में संवेदनशीलता, 90%। P(A|B) सकारात्मक परिणाम आने पर रोग होने की संभावना है — उदाहरण में 9.17%। इन दोनों को भ्रमित करना — उल्टे सशर्त का भ्रम, या अदालत में अभियोजक का भ्रम — साक्ष्य पर तर्क करते समय सबसे आम गलतियों में से एक है।

बेयस प्रमेय के लिए P(B) कैसे निकालें?

आम तौर पर कुल प्रायिकता के नियम से: P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|not A) × (1 − P(A))। यहाँ पहला इनपुट मोड यही है। यदि आप P(B) पहले से जानते हैं — उदाहरण के लिए सर्वेक्षण के आँकड़ों से — तो दूसरा मोड उपयोग करें, और कैलकुलेटर निहित P(B|not A) निकाल देता है।

संवेदनशीलता और विशिष्टता क्या हैं?

संवेदनशीलता उन लोगों का अनुपात है जिन्हें रोग है और जिनका परिणाम सकारात्मक आता है, P(सकारात्मक|रोग)। विशिष्टता उन लोगों का अनुपात है जिन्हें रोग नहीं है और जिनका परिणाम नकारात्मक आता है, P(नकारात्मक|कोई रोग नहीं)। इस कैलकुलेटर में माँगी गई झूठे-सकारात्मक दर 1 − विशिष्टता है, इसलिए 91% विशिष्टता वाले परीक्षण की झूठे-सकारात्मक दर 9% है।

आधार-दर भ्रांति क्या है?

किसी बात की प्रायिकता इस आधार पर आँकना कि साक्ष्य उससे कितना मेल खाता है, और यह अनदेखा करना कि वह बात शुरुआत में कितनी आम है। दुर्लभ रोग में, सटीक परीक्षण का सकारात्मक परिणाम भी आम तौर पर ऐसे व्यक्ति का होता है जिसे रोग नहीं है, क्योंकि ऐसे लोग कहीं ज़्यादा हैं।

क्या बेयस प्रमेय दो से अधिक परिणामों के साथ इस्तेमाल हो सकता है?

हाँ। परस्पर अपवर्जी परिकल्पनाओं A₁, A₂, … के साथ हर बन जाता है उन सभी के लिए P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) का योग। यह कैलकुलेटर सामान्य दो-परिणाम वाली स्थिति संभालता है — A या A नहीं — जो नैदानिक परीक्षण, स्क्रीनिंग और अधिकांश पाठ्यपुस्तक के प्रश्नों को कवर करती है।