द्विपद बंटन कैलकुलेटर
परीक्षणों की संख्या n, सफलता की प्रायिकता p और सफलताओं की संख्या k लिखें, और हर द्विपद प्रायिकता पाएँ — ठीक k, अधिकतम, कम से कम, से कम, से अधिक, या एक सीमा — साथ में माध्य, प्रसरण, पूरी प्रायिकता-तालिका और बार चार्ट। निःशुल्क, पंजीकरण आवश्यक नहीं।
परिणामों में P(k ≤ X ≤ यह मान) जोड़ता है।
परिणाम
| प्रायिकता | अर्थ | मान |
|---|---|---|
| P(X = 12) | ठीक 12 | 0.1201 |
| P(X ≤ 12) | अधिकतम 12 | 0.8684 |
| P(X < 12) | 12 से कम | 0.7483 |
| P(X ≥ 12) | कम से कम 12 | 0.2517 |
| P(X > 12) | 12 से अधिक | 0.1316 |
10
माध्य (np)
5
प्रसरण (np(1 − p))
2.2361
मानक विचलन
np = 10 और n(1 − p) = 10 दोनों कम से कम 10 हैं, इसलिए सामान्य सन्निकटन N(10, 2.2361²) उचित है। सतत सुधार के साथ यह P(X ≤ 12) ≈ 0.8682 देता है, जबकि सटीक 0.8684 है।
प्रायिकता बंटन
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 0 | 9.54 × 10−7 | 9.54 × 10−7 | 1.0000 |
| 1 | 1.91 × 10−5 | 2.00 × 10−5 | 1.0000 |
| 2 | 0.0002 | 0.0002 | 1.0000 |
| 3 | 0.0011 | 0.0013 | 0.9998 |
| 4 | 0.0046 | 0.0059 | 0.9987 |
| 5 | 0.0148 | 0.0207 | 0.9941 |
| 6 | 0.0370 | 0.0577 | 0.9793 |
| 7 | 0.0739 | 0.1316 | 0.9423 |
| 8 | 0.1201 | 0.2517 | 0.8684 |
| 9 | 0.1602 | 0.4119 | 0.7483 |
| 10 | 0.1762 | 0.5881 | 0.5881 |
| 11 | 0.1602 | 0.7483 | 0.4119 |
| 12 | 0.1201 | 0.8684 | 0.2517 |
| 13 | 0.0739 | 0.9423 | 0.1316 |
| 14 | 0.0370 | 0.9793 | 0.0577 |
| 15 | 0.0148 | 0.9941 | 0.0207 |
| 16 | 0.0046 | 0.9987 | 0.0059 |
| 17 | 0.0011 | 0.9998 | 0.0013 |
| 18 | 0.0002 | 1.0000 | 0.0002 |
| 19 | 1.91 × 10−5 | 1.0000 | 2.00 × 10−5 |
| 20 | 9.54 × 10−7 | 1.0000 | 9.54 × 10−7 |
द्विपद बंटन कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. परीक्षणों की संख्या लिखें। n बताता है कि प्रयोग कितनी बार चलता है: 20 सिक्का उछाल, 50 मरीज़, 10 प्रश्न।
- 2. सफलता की प्रायिकता लिखें। p वह संभावना है कि एक परीक्षण सफल हो, 0 और 1 के बीच — निष्पक्ष सिक्के के लिए 0.5, चार विकल्पों में अनुमान के लिए 0.25।
- 3. k लिखें, और वैकल्पिक रूप से दूसरा मान। k वह सफलताओं की संख्या है जिसके बारे में आप पूछ रहे हैं। सीमा की प्रायिकता भी पाने के लिए दूसरा बॉक्स भरें।
- 4. प्रायिकताएँ पढ़ें। आपको P(X = k) और उसके चारों संचयी रूप, माध्य, प्रसरण और मानक विचलन, सामान्य सन्निकटन पर एक टिप्पणी, और — n 200 तक हो तो — पूरी तालिका व बार चार्ट मिलते हैं।
द्विपद बंटन किसका मॉडल है
द्विपद बंटन निश्चित संख्या के स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताएँ गिनता है, जिनमें से हर एक की सफलता की प्रायिकता समान हो: 20 सिक्का उछालों में चित, एक बहुविकल्पीय परीक्षा में सही अनुमान, या वे मरीज़ जिन पर उपचार असर करता है। चार शर्तें होनी चाहिए — निश्चित n, हर परीक्षण में दो परिणाम, स्थिर p, और ऐसे परीक्षण जो एक-दूसरे को प्रभावित न करें।
ठीक k सफलताओं की प्रायिकता P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k है, जहाँ C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) गिनता है कि कौन से परीक्षण सफल होंगे, इसके कितने तरीके हैं। माध्य np है और प्रसरण np(1 − p)। कैलकुलेटर संचयी प्रायिकताएँ नियमित अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन से सटीक निकालता है, इसलिए 100 निष्पक्ष उछालों में P(X ≥ 95) — लगभग 6.26 × 10−23 — सही आता है, शून्य नहीं।
| शब्दावली | संकेत | k शामिल है? |
|---|---|---|
| ठीक k | P(X = k) | केवल k |
| अधिकतम k, k से अधिक नहीं | P(X ≤ k) | हाँ |
| k से कम, k से छोटा | P(X < k) = P(X ≤ k − 1) | नहीं |
| कम से कम k, k या अधिक | P(X ≥ k) | हाँ |
| k से अधिक, k से बड़ा | P(X > k) = P(X ≥ k + 1) | नहीं |
| a और b के बीच, दोनों सहित | P(a ≤ X ≤ b) | दोनों सिरे |
चूँकि द्विपद असतत है, “कम से कम 12” और “12 से अधिक” अलग प्रश्न हैं जिनके अलग उत्तर हैं। शब्दों को इन छह रूपों में से किसी एक में बदलना अक्सर द्विपद समस्या का सबसे कठिन हिस्सा होता है।
हल किया गया उदाहरण: सिक्के और अनुमान
एक निष्पक्ष सिक्का 20 बार उछालें (n = 20, p = 0.5)। ठीक 12 चित की प्रायिकता C(20, 12) × 0.520 = 125,970 / 1,048,576 = 0.1201 है। 12 या अधिक चित की P(X ≥ 12) = 0.2517 है, और 12 या कम की 0.8684। 8 से 12 चित, दोनों सहित, P(8 ≤ X ≤ 12) = 0.7368 है। माध्य 10, प्रसरण 5 और मानक विचलन 2.2361 है।
अब 20 प्रश्नों की बहुविकल्पीय परीक्षा लें, हर प्रश्न में चार विकल्प, और केवल अनुमान से उत्तर दिए जाएँ (n = 20, p = 0.25)। अपेक्षित अंक 5 है, और 10 या अधिक सही उत्तरों से पास होने की प्रायिकता P(X ≥ 10) = 0.0139 है — लगभग 72 में 1।
सामान्य सन्निकटन कब काम करता है
बड़े n के लिए द्विपद सामान्य जैसा दिखता है, माध्य np और मानक विचलन √(np(1 − p)) के साथ। सामान्य नियम यह है कि सन्निकटन केवल तब करें जब np ≥ 10 और n(1 − p) ≥ 10 हो — कुछ पाठ्यपुस्तकें 5 भी स्वीकार करती हैं — और 0.5 का सतत सुधार (continuity correction) लगाएँ। सिक्के के उदाहरण में दोनों गिनतियाँ ठीक 10 हैं, और सन्निकटन P(X ≤ 12) ≈ Φ((12.5 − 10) / 2.2361) = 0.8682 देता है, जबकि सटीक 0.8684 है। जब सटीक मान एक क्लिक दूर हों, तो सन्निकटन अब मुख्यतः एक शिक्षण-उपकरण है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- मैं द्विपद प्रायिकता कैसे निकालूँ?
- P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k का उपयोग करें: n परीक्षणों में k सफलताएँ रखने के तरीके, गुणा ऐसे किसी एक क्रम की प्रायिकता। संचयी प्रायिकताएँ ये पद जोड़ती हैं। ऊपर n, p और k लिखें और कैलकुलेटर इन सबका एक साथ मूल्यांकन करता है।
- P(X < k) और P(X ≤ k) में क्या अंतर है?
- P(X ≤ k) में k शामिल है और P(X < k) में नहीं, इसलिए P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k)। 20 निष्पक्ष सिक्का उछालों के लिए P(X ≤ 12) = 0.8684, जबकि P(X < 12) = 0.7483 — अंतर P(X = 12) = 0.1201 है।
- द्विपद बंटन की शर्तें क्या हैं?
- परीक्षणों की निश्चित संख्या, हर एक पर दो संभावित परिणाम, हर बार एक समान सफलता-प्रायिकता, और स्वतंत्र परीक्षण। छोटी आबादी से बिना प्रतिस्थापन निकालने पर स्थिर-p की शर्त टूट जाती है, इसलिए वहाँ हाइपरज्योमेट्रिक बंटन उपयोग करें।
- द्विपद बंटन का माध्य और मानक विचलन क्या है?
- माध्य np, प्रसरण np(1 − p), और मानक विचलन √(np(1 − p))। n = 20 और p = 0.25 के लिए माध्य 5, प्रसरण 3.75 और मानक विचलन 1.9365 है।
- क्या कैलकुलेटर बड़े n के लिए काम करता है?
- हाँ। n लाखों तक जा सकता है, क्योंकि संचयी प्रायिकताएँ हज़ारों पद जोड़ने के बजाय अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन से आती हैं, इसलिए n बढ़ने पर सटीकता नहीं घटती। तालिका और बार चार्ट n 200 तक बनते हैं, जहाँ वे पठनीय रहते हैं।
- कब इसके बजाय पॉइसों या सामान्य बंटन उपयोग करें?
- पॉइसों तब उपयोग करें जब किसी अंतराल में घटनाओं की गिनती हो और परीक्षणों की निश्चित संख्या न हो; यह द्विपद का भी सन्निकटन करता है जब n बड़ा और p छोटा हो। सामान्य सन्निकटन केवल एक क्रॉस-चेक के रूप में उपयोग करें, और केवल तब जब np और n(1 − p) दोनों कम से कम 10 हों।