Binomialverteilungsrechner

Ergebnisse

np = 10 und n(1 − p) = 10 sind beide mindestens 10, daher ist die Normalapproximation N(10, 2,2361²) angemessen. Mit Stetigkeitskorrektur ergibt sie P(X ≤ 12) ≈ 0,8682, gegenüber dem exakten Wert 0,8684.

So verwenden Sie den Binomialverteilungsrechner

1. 1. Geben Sie die Anzahl der Versuche ein. n ist, wie oft das Experiment läuft: 20 Münzwürfe, 50 Patienten, 10 Fragen.
2. 2. Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit ein. p ist die Chance, dass ein Versuch gelingt, zwischen 0 und 1 — 0,5 für eine faire Münze, 0,25 beim Raten unter vier Antworten.
3. 3. Geben Sie k ein und optional einen zweiten Wert. k ist die Anzahl der Erfolge, nach der Sie fragen. Füllen Sie das zweite Feld aus, um zusätzlich die Wahrscheinlichkeit eines Bereichs zu erhalten.
4. 4. Lesen Sie die Wahrscheinlichkeiten ab. Sie erhalten P(X = k) und alle vier kumulativen Varianten, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, einen Hinweis zur Normalapproximation und — für n bis 200 — die vollständige Tabelle und ein Balkendiagramm.

Was die Binomialverteilung beschreibt

Die Binomialverteilung zählt Erfolge in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche, die jeweils mit derselben Wahrscheinlichkeit gelingen: Kopf bei 20 Münzwürfen, richtige Antworten bei einem Multiple-Choice-Test oder Patienten, die auf eine Behandlung ansprechen. Vier Bedingungen müssen gelten: ein festes n, zwei Ergebnisse pro Versuch, ein konstantes p und Versuche, die sich nicht gegenseitig beeinflussen.

Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge ist P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}, wobei C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) zählt, auf wie viele Arten man auswählen kann, welche Versuche gelingen. Der Erwartungswert ist np, die Varianz np(1 − p). Der Rechner wertet die kumulativen Wahrscheinlichkeiten exakt über die regularisierte unvollständige Betafunktion aus, sodass selbst P(X ≥ 95) bei 100 fairen Münzwürfen — etwa 6,26 × 10⁻²³ — richtig herauskommt statt als null.

Da die Binomialverteilung diskret ist, sind „mindestens 12“ und „mehr als 12“ verschiedene Fragen mit verschiedenen Antworten. Die Frage in eine dieser sechs Formen zu übersetzen ist meist der schwierigste Teil einer Binomialaufgabe.

Beispiel: Münzwürfe und Raten

Werfen Sie eine faire Münze 20-mal (n = 20, p = 0,5). Die Chance auf genau 12 Kopf ist C(20, 12) × 0,5²⁰ = 125.970 / 1.048.576 = 0,1201. Die Chance auf 12 oder mehr ist P(X ≥ 12) = 0,2517, auf höchstens 12 ist sie 0,8684. Zwischen 8 und 12 Kopf einschließlich gilt P(8 ≤ X ≤ 12) = 0,7368. Der Erwartungswert ist 10, die Varianz 5 und die Standardabweichung 2,2361.

Nun ein Multiple-Choice-Test mit 20 Fragen und vier Antworten je Frage, beantwortet durch reines Raten (n = 20, p = 0,25). Die erwartete Punktzahl ist 5, und die Chance, mit 10 oder mehr richtigen Antworten zu bestehen, ist P(X ≥ 10) = 0,0139 — etwa 1 zu 72.

Wann die Normalapproximation funktioniert

Bei großem n sieht die Binomialverteilung normal aus, mit Erwartungswert np und Standardabweichung √(np(1 − p)). Die übliche Regel: nur approximieren, wenn np ≥ 10 und n(1 − p) ≥ 10 gilt — manche Lehrbücher akzeptieren 5 — und eine Stetigkeitskorrektur von 0,5 anwenden. Für das Münzbeispiel sind beide Werte genau 10, und die Approximation ergibt P(X ≤ 12) ≈ Φ((12,5 − 10) / 2,2361) = 0,8682, gegenüber dem exakten Wert 0,8684. Da exakte Werte nur einen Klick entfernt sind, ist die Approximation heute vor allem ein Lehrmittel.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich eine Binomialwahrscheinlichkeit?

Verwenden Sie P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}: die Anzahl der Möglichkeiten, k Erfolge auf n Versuche zu verteilen, mal die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen solchen Folge. Kumulative Wahrscheinlichkeiten addieren diese Terme. Geben Sie oben n, p und k ein, und der Rechner wertet alle auf einmal aus.

Was ist der Unterschied zwischen P(X < k) und P(X ≤ k)?

P(X ≤ k) schließt k ein, P(X < k) nicht, daher gilt P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). Für 20 faire Münzwürfe ist P(X ≤ 12) = 0,8684, während P(X < 12) = 0,7483 ist — die Differenz ist P(X = 12) = 0,1201.

Was sind die Bedingungen für eine Binomialverteilung?

Eine feste Anzahl Versuche, jeweils zwei mögliche Ergebnisse, bei jedem Versuch dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängige Versuche. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit verletzt die Bedingung des konstanten p; verwenden Sie dort stattdessen die hypergeometrische Verteilung.

Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung?

Der Erwartungswert ist np, die Varianz np(1 − p) und die Standardabweichung √(np(1 − p)). Für n = 20 und p = 0,25 ist der Erwartungswert 5, die Varianz 3,75 und die Standardabweichung 1,9365.

Funktioniert der Rechner auch für großes n?

Ja. n kann in die Millionen gehen, weil die kumulativen Wahrscheinlichkeiten aus der unvollständigen Betafunktion stammen statt aus der Addition Tausender Terme, daher nimmt die Genauigkeit mit wachsendem n nicht ab. Tabelle und Balkendiagramm werden für n bis 200 gezeichnet, wo sie lesbar bleiben.

Wann sollte ich stattdessen eine Poisson- oder Normalverteilung verwenden?

Die Poisson-Verteilung eignet sich für Ereigniszahlen in einem Intervall, wenn es keine feste Anzahl Versuche gibt; sie approximiert auch die Binomialverteilung, wenn n groß und p klein ist. Die Normalapproximation nur als Gegenprobe verwenden, und nur, wenn np und n(1 − p) beide mindestens 10 sind.