Binom Dağılımı Hesaplayıcı
Deneme sayısı n, başarı olasılığı p ve başarı sayısı k girin; tam olarak k, en fazla, daha az, en az, daha fazla ya da bir aralık — her binom olasılığını alın. Ortalama, varyans, tam bir olasılık tablosu ve çubuk grafik de dahildir. Ücretsiz, üyelik gerektirmez.
P(k ≤ X ≤ bu değer) olasılığını sonuçlara ekler.
Sonuçlar
| Olasılık | Anlamı | Değer |
|---|---|---|
| P(X = 12) | tam olarak 12 | 0,1201 |
| P(X ≤ 12) | en fazla 12 | 0,8684 |
| P(X < 12) | 12 değerinin altında | 0,7483 |
| P(X ≥ 12) | en az 12 | 0,2517 |
| P(X > 12) | 12 değerinin üstünde | 0,1316 |
10
Ortalama (np)
5
Varyans (np(1 − p))
2,2361
Standart sapma
np = 10 ve n(1 − p) = 10 ikisi de en az 10 olduğu için N(10, 2,2361²) normal yaklaşımı uygundur. Süreklilik düzeltmesiyle P(X ≤ 12) ≈ 0,8682 verir; kesin değer ise 0,8684.
Olasılık dağılımı
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 0 | 9,54 × 10−7 | 9,54 × 10−7 | 1,0000 |
| 1 | 1,91 × 10−5 | 2,00 × 10−5 | 1,0000 |
| 2 | 0,0002 | 0,0002 | 1,0000 |
| 3 | 0,0011 | 0,0013 | 0,9998 |
| 4 | 0,0046 | 0,0059 | 0,9987 |
| 5 | 0,0148 | 0,0207 | 0,9941 |
| 6 | 0,0370 | 0,0577 | 0,9793 |
| 7 | 0,0739 | 0,1316 | 0,9423 |
| 8 | 0,1201 | 0,2517 | 0,8684 |
| 9 | 0,1602 | 0,4119 | 0,7483 |
| 10 | 0,1762 | 0,5881 | 0,5881 |
| 11 | 0,1602 | 0,7483 | 0,4119 |
| 12 | 0,1201 | 0,8684 | 0,2517 |
| 13 | 0,0739 | 0,9423 | 0,1316 |
| 14 | 0,0370 | 0,9793 | 0,0577 |
| 15 | 0,0148 | 0,9941 | 0,0207 |
| 16 | 0,0046 | 0,9987 | 0,0059 |
| 17 | 0,0011 | 0,9998 | 0,0013 |
| 18 | 0,0002 | 1,0000 | 0,0002 |
| 19 | 1,91 × 10−5 | 1,0000 | 2,00 × 10−5 |
| 20 | 9,54 × 10−7 | 1,0000 | 9,54 × 10−7 |
Binom Dağılımı Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Deneme sayısını girin. n, deneyin kaç kez yapıldığıdır: 20 yazı tura atışı, 50 hasta, 10 soru.
- 2. Başarı olasılığını girin. p, tek bir denemenin başarılı olma olasılığıdır; 0 ile 1 arasında — adil bir para için 0,5, dört seçenek arasında tahmin için 0,25.
- 3. k'yi ve isteğe bağlı ikinci bir değeri girin. k, sorduğunuz başarı sayısıdır. Bir aralığın olasılığını da almak için ikinci kutuyu doldurun.
- 4. Olasılıkları okuyun. P(X = k) ve dört kümülatif biçimi, ortalama, varyans ve standart sapma, normal yaklaşım notu ve — n en fazla 200 için — tam tablo ile çubuk grafik elde edersiniz.
Binom Dağılımı Neyi Modeller
Binom dağılımı, her biri aynı olasılıkla başarılı olan sabit sayıda bağımsız denemede başarıları sayar: 20 yazı tura atışında yazı sayısı, çoktan seçmeli bir testte doğru tahminler ya da bir tedaviye yanıt veren hastalar. Dört koşulun sağlanması gerekir — sabit bir n, deneme başına iki sonuç, sabit bir p ve birbirini etkilemeyen denemeler.
Tam olarak k başarı olasılığı P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k ile verilir; burada C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) hangi denemelerin başarılı olacağını seçmenin yollarını sayar. Ortalama np, varyans np(1 − p)'dir. Hesaplayıcı kümülatif olasılıkları düzenlenmiş eksik beta fonksiyonu üzerinden kesin olarak değerlendirir; böylece 100 adil atışta P(X ≥ 95) — yaklaşık 6,26 × 10−23 — sıfır yerine doğru çıkar.
| İfade | Gösterim | k dahil mi? |
|---|---|---|
| tam olarak k | P(X = k) | Yalnızca k |
| en fazla k | P(X ≤ k) | Evet |
| k'nın altında | P(X < k) = P(X ≤ k − 1) | Hayır |
| en az k, k ya da daha fazla | P(X ≥ k) | Evet |
| k'nın üstünde | P(X > k) = P(X ≥ k + 1) | Hayır |
| a ile b arası, uçlar dahil | P(a ≤ X ≤ b) | İki uç da |
Binom ayrık olduğu için, "en az 12" ile "12'den fazla" farklı sorular ve farklı yanıtlardır. Soruyu bu altı biçimden birine çevirmek, binom problemlerinde genellikle en zor kısımdır.
Çalışılmış Örnek: Yazı Tura ve Tahmin
Adil bir parayı 20 kez atın (n = 20, p = 0,5). Tam olarak 12 yazı gelme olasılığı C(20, 12) × 0,520 = 125.970 / 1.048.576 = 0,1201'dir. 12 veya daha fazla gelme olasılığı P(X ≥ 12) = 0,2517, en fazla 12 gelme olasılığı ise 0,8684'tür. 8 ile 12 yazı arası, uçlar dahil, P(8 ≤ X ≤ 12) = 0,7368'dir. Ortalama 10, varyans 5 ve standart sapma 2,2361'dir.
Şimdi dört seçenekli, 20 soruluk çoktan seçmeli bir test düşünün; her soru tamamen tahminle yanıtlanıyor (n = 20, p = 0,25). Beklenen puan 5'tir ve 10 ya da daha fazla doğruyla geçme olasılığı P(X ≥ 10) = 0,0139'dur — yaklaşık 72'de 1.
Normal yaklaşım ne zaman işe yarar
Büyük n için binom normal gibi görünür; ortalaması np, standart sapması √(np(1 − p))'dir. Yaygın kural, yalnızca np ≥ 10 ve n(1 − p) ≥ 10 olduğunda yaklaştırmak — bazı ders kitapları 5'i kabul eder — ve 0,5'lik bir süreklilik düzeltmesi uygulamaktır. Yazı tura örneğinde iki sayı da tam olarak 10'dur ve yaklaşım P(X ≤ 12) ≈ Φ((12,5 − 10) / 2,2361) = 0,8682 verir; kesin değer 0,8684'tür. Kesin değerler bir tık uzakta olduğundan, yaklaşım artık ağırlıklı olarak bir öğretme aracıdır.
Sık sorulan sorular
- Binom olasılığını nasıl hesaplarım?
- P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k formülünü kullanın: n denemede k başarıyı yerleştirmenin yolu sayısı, çarpı böyle bir dizilimin herhangi birinin olasılığı. Kümülatif olasılıklar bu terimleri toplar. Yukarıda n, p ve k girin; hesaplayıcı hepsini aynı anda değerlendirir.
- P(X < k) ile P(X ≤ k) arasındaki fark nedir?
- P(X ≤ k), k'yı içerir; P(X < k) içermez, bu yüzden P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k). 20 adil yazı tura atışında P(X ≤ 12) = 0,8684 iken P(X < 12) = 0,7483'tür — fark P(X = 12) = 0,1201'dir.
- Binom dağılımının koşulları nelerdir?
- Sabit sayıda deneme, her birinde iki olası sonuç, her seferinde aynı başarı olasılığı ve bağımsız denemeler. Küçük bir popülasyondan geri koymadan çekmek sabit-p koşulunu bozar; bu durumda hipergeometrik dağılımı kullanın.
- Binom dağılımının ortalaması ve standart sapması nedir?
- Ortalama np, varyans np(1 − p) ve standart sapma √(np(1 − p))'dir. n = 20 ve p = 0,25 için ortalama 5, varyans 3,75 ve standart sapma 1,9365'tir.
- Hesaplayıcı büyük n için çalışır mı?
- Evet. n milyonlara ulaşabilir, çünkü kümülatif olasılıklar binlerce terimi toplamak yerine eksik beta fonksiyonundan gelir; bu yüzden n büyüdükçe duyarlılık bozulmaz. Tablo ve çubuk grafik n en fazla 200 için çizilir; bu aralıkta okunaklı kalırlar.
- Bunun yerine ne zaman Poisson ya da normal dağılım kullanmalıyım?
- Sabit bir deneme sayısı olmadığında bir aralıktaki olay sayıları için Poisson kullanın; n büyük ve p küçük olduğunda binomu da yaklaştırır. Normal yaklaşımı yalnızca bir karşılaştırma olarak ve yalnızca np ile n(1 − p) ikisi de en az 10 olduğunda kullanın.