이항 분포 계산기

결과

np = 10이고 n(1 − p) = 10이 모두 10 이상이므로, 정규 근사 N(10, 2.2361²)는 합리적입니다. 연속성 보정을 적용하면 P(X ≤ 12) ≈ 0.8682이며, 정확한 값은 0.8684입니다.

이항 분포 계산기 사용 방법

1. 1. 시행 횟수를 입력하세요. n은 실험을 몇 번 하는지입니다: 동전 던지기 20번, 환자 50명, 문제 10개.
2. 2. 성공 확률을 입력하세요. p는 한 번의 시행이 성공할 확률로, 0과 1 사이입니다 — 공정한 동전이면 0.5, 보기 네 개 중에서 찍는 경우라면 0.25.
3. 3. k를 입력하고, 필요하면 두 번째 값도 입력하세요. k는 알고 싶은 성공 횟수입니다. 두 번째 칸을 채우면 구간의 확률도 함께 얻습니다.
4. 4. 확률을 읽으세요. P(X = k)와 네 가지 누적 확률, 평균, 분산, 표준편차, 정규 근사에 대한 참고 사항을 얻습니다. n이 200 이하이면 전체 표와 막대 차트도 볼 수 있습니다.

이항 분포가 모델링하는 것

이항 분포는 같은 확률로 성공하는 독립 시행을 고정된 횟수만큼 했을 때 성공 횟수를 셉니다. 예를 들면 동전 20번 던지기에서 앞면이 나오는 횟수, 객관식 시험에서 맞힌 문항 수, 치료에 반응한 환자 수입니다. 네 가지 조건이 성립해야 합니다 — n이 고정되어 있고, 각 시행의 결과는 두 가지이며, p가 일정하고, 시행끼리 서로 영향을 주지 않아야 합니다.

정확히 k번 성공할 확률은 P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}이며, 여기서 C(n, k) = n! / (k! (n − k)!)는 어느 시행이 성공할지 고르는 방법의 수입니다. 평균은 np, 분산은 np(1 − p)입니다. 계산기는 누적 확률을 정규화된 불완전 베타 함수로 정확히 계산하므로, 공정한 동전 100번에서 P(X ≥ 95)는 약 6.26 × 10⁻²³이 되며, 0으로 잘못 나오지 않습니다.

이항 분포는 이산적이므로 “최소 12”와 “12 초과”는 서로 다른 질문이며 답도 다릅니다. 문장을 이 여섯 가지 형태 중 하나로 옮기는 것이 보통 이항 문제에서 가장 어려운 부분입니다.

작업 예시: 동전 던지기와 찍기

공정한 동전을 20번 던집니다(n = 20, p = 0.5). 정확히 앞면이 12번 나올 확률은 C(20, 12) × 0.5²⁰ = 125,970 / 1,048,576 = 0.1201입니다. 12번 이상 나올 확률은 P(X ≥ 12) = 0.2517이고, 12번 이하일 확률은 0.8684입니다. 8번에서 12번 사이(양 끝 포함)일 확률은 P(8 ≤ X ≤ 12) = 0.7368입니다. 평균은 10, 분산은 5, 표준편차는 2.2361입니다.

이제 보기가 네 개인 20문항 객관식 시험을 완전히 찍어서 치른다고 합시다(n = 20, p = 0.25). 기대 점수는 5이고, 10문항 이상 맞혀 합격할 확률은 P(X ≥ 10) = 0.0139로, 약 72분의 1입니다.

정규 근사가 통할 때

n이 크면 이항 분포는 평균 np, 표준편차 √(np(1 − p))인 정규 분포처럼 보입니다. 보통의 규칙은 np ≥ 10이고 n(1 − p) ≥ 10일 때만 근사하는 것입니다(일부 교재는 5를 허용합니다). 그리고 연속성 보정 0.5를 적용합니다. 동전 예시에서 두 값은 모두 정확히 10이며, 근사는 P(X ≤ 12) ≈ Φ((12.5 − 10) / 2.2361) = 0.8682를 주는데, 정확한 값은 0.8684입니다. 정확한 값이 클릭 한 번이면 나오는 지금, 근사는 주로 가르치기 위한 도구입니다.

자주 묻는 질문

이항 확률은 어떻게 계산하나요?

P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}를 사용하세요. n번의 시행에서 k번의 성공을 배치하는 방법의 수에, 그러한 순서 하나의 확률을 곱한 것입니다. 누적 확률은 이 항들을 더합니다. 위에서 n, p, k를 입력하면 계산기가 이 모든 값을 한 번에 계산합니다.

P(X < k)와 P(X ≤ k)의 차이는 무엇인가요?

P(X ≤ k)에는 k가 포함되고 P(X < k)에는 포함되지 않으므로, P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k)입니다. 공정한 동전 20번 던지기에서 P(X ≤ 12) = 0.8684이고 P(X < 12) = 0.7483입니다. 차이는 P(X = 12) = 0.1201입니다.

이항 분포의 조건은 무엇인가요?

시행 횟수가 고정되어 있고, 각 시행마다 두 가지 결과가 있으며, 성공 확률이 매번 같고, 시행이 독립이어야 합니다. 작은 모집단에서 복원 없이 뽑으면 p가 일정하다는 조건이 깨지므로, 그 경우에는 초기하 분포를 사용하세요.

이항 분포의 평균과 표준편차는 무엇인가요?

평균은 np, 분산은 np(1 − p), 표준편차는 √(np(1 − p))입니다. n = 20, p = 0.25이면 평균은 5, 분산은 3.75, 표준편차는 1.9365입니다.

계산기는 큰 n에서도 작동하나요?

네. n은 수백만까지 가능합니다. 누적 확률은 수천 개의 항을 더하는 대신 불완전 베타 함수에서 나오므로, n이 커져도 정밀도가 떨어지지 않습니다. 표와 막대 차트는 n이 200 이하일 때 그려지며, 그 범위에서 읽기 쉽게 유지됩니다.

대신 푸아송 분포나 정규 분포는 언제 쓰나요?

정해진 시행 횟수가 없는, 구간 내 사건의 횟수에는 푸아송 분포를 씁니다. 또한 n이 크고 p가 작을 때 이항 분포를 근사합니다. 정규 근사는 np와 n(1 − p)가 모두 10 이상일 때에만, 검산용으로만 쓰세요.