Binomiale-toetscalculator
Voer het aantal successen, het aantal pogingen en de kans waartegen je wilt toetsen in, en krijg de exacte binomiale p-waarde voor alle drie de alternatieven, het Clopper–Pearson-betrouwbaarheidsinterval, het Wilson-interval ter vergelijking en Cohens h als effectgrootte. De binomiale verdeling onder je nulhypothese staat in een tabel, zodat je ziet welke uitkomsten de p-waarde vormen. Gratis, zonder registratie.
Een waarde tussen 0 en 1, zoals 0,5 of 0,25.
Voer het aantal successen, het aantal pogingen en p₀ in.
Zo gebruik je de Binomiale-toetscalculator
- 1. Voer de tellingen in. Typ het aantal successen (k) en het aantal pogingen (n). Een succes is de uitkomst die je telt: kop, een juist antwoord, een respondent die het eens is.
- 2. Voer p₀ in. Dit is de kans op succes onder je nulhypothese: 0,5 voor een eerlijke munt, 0,25 voor een gok uit vier opties, of een gepubliceerde benchmark.
- 3. Kies het alternatief en het betrouwbaarheidsniveau. Tweezijdig vraagt of de werkelijke kans in beide richtingen van p₀ afwijkt; de eenzijdige keuzes vragen naar één richting.
- 4. Lees het resultaat. De exacte p-waarde, het betrouwbaarheidsinterval voor de werkelijke kans en de tabel met de nulverdeling verschijnen hieronder. Kopieer de APA-regel als je klaar bent.
Hoe de exacte binomiale toets werkt
Als elke poging onafhankelijk is en met dezelfde kans p₀ slaagt, volgt het aantal successen X een Binomiale(n, p₀)-verdeling: P(X = j) = C(n, j) p₀j (1 − p₀)n−j. De eenzijdige p-waarden zijn eenvoudige staarten: P(X ≤ k) voor ‘de kans is kleiner dan p₀’ en P(X ≥ k) voor ‘de kans is groter’. Er is geen benadering, dus de toets is geldig voor elke n, ook bij zeer kleine steekproeven en kansen dicht bij 0 of 1, waar een z-toets met normale benadering niet meer deugt.
De tweezijdige p-waarde vraagt om zorg. Het verdubbelen van de kleinste staart is alleen juist als p₀ = 0,5, want alleen dan is de verdeling symmetrisch. Deze calculator volgt de regel van R's binom.test en SciPy's binomtest: tel de kansen op van elke uitkomst die niet waarschijnlijker is dan de uitkomst die je waarnam. De tabel markeert die uitkomsten, zodat je precies ziet wat is meegeteld. Bij een symmetrische nulhypothese is het gelijk aan tweemaal de kleinste staart.
Het betrouwbaarheidsinterval voor de werkelijke kans is het Clopper–Pearson-interval (exact), opgebouwd uit kwantielen van de bètaverdeling. Het garandeert ten minste de opgegeven dekking en is daarom eerder aan de brede kant. Het Wilson-scoreinterval staat ernaast omdat het smaller is en een dekking heeft die dicht bij het nominale niveau ligt. Bij een eenzijdig alternatief is het exacte interval ook eenzijdig, zoals in R.
Uitgewerkt voorbeeld: een benchmark van 30% toetsen
Klik op Probeer een voorbeeld om een enquête te laden waarin 61 van de 150 respondenten een optie kozen waarvan een gepubliceerde benchmark zegt dat 30% van de mensen haar kiest. De waargenomen proportie is p̂ = 0,407; het verwachte aantal onder H₀ is 45.
Exacte binomiale toets, stap voor stap
X ~ Binomiale(150; 0,3); P(X = 61) = 0,001418
Uitkomsten die niet waarschijnlijker zijn dan 61: 0–29 en 61–150 → tweezijdige p = 0,0056
Eenzijdig: P(X ≥ 61) = 0,0035; P(X ≤ 61) = 0,998
95%-Clopper–Pearson-BI [0,327; 0,490]; Cohens h = 0,22
In APA-stijl: er kozen meer respondenten de optie dan de benchmark van 30%, 61 van 150 (p̂ = 0,41), exacte binomiale toets tegen p₀ = 0,30: p = 0,006, 95%-BI [0,33; 0,49]. Het interval sluit 0,30 uit, in lijn met de toets, en h = 0,22 is volgens de vuistregel van Cohen een klein tot middelgroot effect (0,2 klein, 0,5 middelgroot, 0,8 groot).
Binomiale toets of een andere toets?
| Situatie | Betere keuze |
|---|---|
| Één proportie, elke steekproefgrootte | Exacte binomiale toets |
| Grote steekproef, np₀ en n(1 − p₀) beide minstens 10 | Normale benadering (eenproportie-z-toets), die dicht bij de exacte uitkomst ligt |
| Twee onafhankelijke proporties | Twee-proporties-z-toets, of Fisher's exacte toets bij kleine aantallen |
| Gepaarde ja/nee-uitkomsten | McNemar-toets, een binomiale toets op de discordante paren |
| Aantallen over drie of meer categorieën | Chi-kwadraat-aanpassingstoets |
Veelgestelde vragen
- Waarvoor wordt de binomiale toets gebruikt?
- Hij toetst of de proportie successen in een steekproef in overeenstemming is met een veronderstelde kans, bijvoorbeeld of een munt eerlijk is, of een slaagpercentage overeenkomt met een doel, of het aandeel mensen dat een optie kiest verschilt van een benchmark. Hij werkt bij elke steekproefgrootte, omdat hij exacte binomiale kansen gebruikt.
- Wanneer gebruik ik de binomiale toets in plaats van een z-toets?
- Gebruik hem wanneer de steekproef klein is of p₀ dicht bij 0 of 1 ligt, dus wanneer np₀ of n(1 − p₀) onder ongeveer 10 zit, want de normale benadering van de z-toets is dan onbetrouwbaar. Bij een grote steekproef geven beide bijna hetzelfde antwoord, maar de exacte toets is nooit fout, dus er is weinig reden de benadering te verkiezen.
- Waarom is de tweezijdige p-waarde niet gewoon het dubbele van de eenzijdige?
- Verdubbelen werkt alleen als de nulverdeling symmetrisch is, en dat is zo bij p₀ = 0,5. Bij elke andere p₀ is de verdeling scheef, en de uitkomsten in de tegenovergestelde staart die even onwaarschijnlijk zijn als de jouwe, zijn niet het spiegelbeeld van je eigen staart. De standaardmethode telt de kansen op van elke uitkomst die niet waarschijnlijker is dan de waargenomen uitkomst.
- Hoe rapporteer ik een binomiale toets in APA-stijl?
- Geef de tellingen en de toets, de veronderstelde kans, de exacte p-waarde en het interval: 61 van 150 (p̂ = 0,41), exacte binomiale toets tegen p₀ = 0,30: p = 0,006, 95%-BI [0,33; 0,49]. Zet p en p̂ in cursief en houd de decimalen gelijk aan wat je docent of tijdschrift vraagt.
- Welk betrouwbaarheidsinterval moet ik rapporteren?
- Het Clopper–Pearson-interval past goed bij de exacte toets en garandeert ten minste de nominale dekking, maar het is conservatief. Het Wilson-interval is korter en heeft een dekking die dichter bij het nominale niveau ligt, en is een goede keuze om een proportie te rapporteren. Welke je ook kiest, zeg erbij welke het is.
- Welke aannames doet de binomiale toets?
- Dat elke poging precies twee uitkomsten heeft, dat de pogingen onafhankelijk zijn, dat de kans op succes bij elke poging gelijk is, en dat het aantal pogingen vooraf vastlag. Steekproeftrekking zonder teruglegging uit een kleine populatie schendt de onafhankelijkheid; dan is de hypergeometrische verdeling het juiste model.