حاسبة اختبار ذي الحدين
أدخل عدد النجاحات وعدد المحاولات والاحتمال الذي تريد اختباره مقابله، لتحصل على قيمة p الدقيقة لاختبار ذي الحدين للبدائل الثلاثة، وفترة ثقة Clopper–Pearson، وفترة Wilson للمقارنة، ومقياس h لكوهن كحجم أثر. يعرض الجدول توزيع ذي الحدين تحت فرضك الصفري، لترى أي النتائج تكوّن قيمة p. مجانية دون تسجيل.
قيمة بين 0 و1، مثل 0.5 أو 0.25.
أدخل عدد النجاحات وعدد المحاولات وp₀.
كيفية استخدام حاسبة اختبار ذي الحدين
- 1. أدخل العدَدين. اكتب عدد النجاحات (k) وعدد المحاولات (n). النجاح هو النتيجة التي تعدّها: صورة، أو إجابة صحيحة، أو مستجيب يوافق.
- 2. أدخل p₀. هو احتمال النجاح تحت فرضك الصفري: 0.5 لعملة عادلة، و0.25 لتخمين بين أربعة خيارات، أو معيار منشور.
- 3. اختر الفرض البديل ومستوى الثقة. الخيار ثنائي الجانب يسأل هل يختلف الاحتمال الحقيقي عن p₀ في أي اتجاه؛ أما الخياران الأحاديان فيسألان عن اتجاه واحد فقط.
- 4. اقرأ النتيجة. تظهر قيمة p الدقيقة وفترة الثقة للاحتمال الحقيقي وجدول توزيع الفرض الصفري أسفله. انسخ سطر APA عند الانتهاء.
كيف يعمل اختبار ذي الحدين الدقيق
إذا كانت كل المحاولات مستقلة ونجحت كلها باحتمال p₀ نفسه، فإن عدد النجاحات X يتبع توزيع ذي الحدين Binomial(n, p₀): P(X = j) = C(n, j) p₀j (1 − p₀)n−j. وقيم p أحادية الجانب ذيول بسيطة: P(X ≤ k) لـ«الاحتمال أقل من p₀»، وP(X ≥ k) لـ«الاحتمال أكبر». لا يوجد تقريب هنا، فالاختبار صالح لأي n، بما في ذلك العينات الصغيرة جدًا والاحتمالات القريبة من 0 أو 1، حيث ينهار اختبار z بالتقريب الطبيعي.
تحتاج قيمة p ثنائية الجانب إلى عناية. ضرب الذيل الأصغر في اثنين صحيح فقط حين تكون p₀ = 0.5، لأن التوزيع لا يكون متماثلًا إلا عندئذ. تتّبع هذه الأداة قاعدة binom.test في R وقاعدة binomtest في SciPy: تُجمع احتمالات كل نتيجة لا تزيد احتمالًا على النتيجة التي رصدتها. ويُعلِّم الجدول تلك النتائج لترى بالضبط ما حُسب. ومع فرض صفري متماثل تساوي القيمة ضعف الذيل الأصغر.
فترة الثقة للاحتمال الحقيقي هي فترة Clopper–Pearson (الدقيقة)، وتُبنى من كميات توزيع بيتا. وهي تضمن تغطية لا تقل عن المستوى المذكور، فتميل إلى الاتساع. وتُعرض بجانبها فترة Wilson لأنها أضيق وتغطيتها قريبة من المستوى الاسمي. وعند الفرض البديل الأحادي تكون الفترة الدقيقة أحادية الجانب أيضًا، كما في R.
مثال تطبيقي: اختبار معيار 30%
انقر جرّب مثالًا لتحميل مسح استجاب فيه 61 من 150 شخصًا باختيار خيار يقول معيار منشور إن 30% من الناس يختارونه. النسبة المرصودة هي p̂ = .407، والعدد المتوقع تحت H₀ هو 45.
اختبار ذي الحدين الدقيق، خطوة بخطوة
X ~ ذو الحدين(150, 0.3)؛ P(X = 61) = 0.001418
نتائج لا تزيد احتمالًا على 61: من 0 إلى 29 ومن 61 إلى 150، فتكون p ثنائية الجانب = .0056
أحادية الجانب: P(X ≥ 61) = .0035؛ P(X ≤ 61) = .998
فترة ثقة 95% بطريقة Clopper–Pearson [.327, .490]؛ مقياس h لكوهن = 0.22
بأسلوب APA: اختار 61 من 150 مستجيبًا الخيار، أي أكثر مما يحدده المعيار المنشور البالغ 30% (p̂ = .41)، وذلك وفق اختبار ذي الحدين الدقيق مقابل p₀ = .30: p = .006، وفترة الثقة 95% [.33, .49]. تستبعد الفترة القيمة .30، وهذا يتفق مع الاختبار، و h = 0.22 أثر صغير إلى متوسط وفق قاعدة Cohen التقريبية (0.2 صغير، و0.5 متوسط، و0.8 كبير).
اختبار ذي الحدين أم اختبار آخر؟
| الحالة | الاختيار الأفضل |
|---|---|
| نسبة واحدة، وأي حجم عينة | اختبار ذي الحدين الدقيق |
| عينة كبيرة، وكل من np₀ وn(1 − p₀) لا يقل عن 10 | التقريب الطبيعي (اختبار z لنسبة واحدة)، وهو يتفق معه تقريبًا |
| نسبتان مستقلتان | اختبار z لنسبتين، أو اختبار Fisher الدقيق للأعداد الصغيرة |
| نتائج ثنائية (نعم/لا) مقترنة | اختبار McNemar، وهو اختبار ذي الحدين على الأزواج المتعارضة |
| أعداد عبر ثلاث فئات أو أكثر | مربع كاي لجودة المطابقة |
الأسئلة الشائعة
- ما الغرض من اختبار ذي الحدين؟
- يختبر ما إذا كانت نسبة النجاحات في عينة تتفق مع احتمال مفترض، مثلًا: هل العملة عادلة، وهل معدل النجاح يطابق هدفًا، وهل نسبة من يختارون خيارًا تختلف عن معيار منشور. ويصلح لأي حجم عينة لأنه يعتمد على احتمالات ذي الحدين الدقيقة.
- متى أستخدم اختبار ذي الحدين بدلًا من اختبار z؟
- استخدمه كلما كانت العينة صغيرة أو كانت p₀ قريبة من 0 أو 1، أي حين يقل np₀ أو n(1 − p₀) عن 10 تقريبًا، لأن التقريب الطبيعي لاختبار z لا يُعتمد عليه هناك. ومع العينات الكبيرة تعطي الطريقتان نتيجة متقاربة جدًا، لكن الاختبار الدقيق لا يخطئ، فلا سبب يدعو إلى تفضيل التقريب.
- لماذا لا تساوي قيمة p ثنائية الجانب ضعف أحادية الجانب ببساطة؟
- لا يصح الضرب في اثنين إلا إذا كان التوزيع تحت الفرض الصفري متماثلًا، وهذا يحدث حين تكون p₀ = 0.5. أما مع أي قيمة أخرى لـp₀ فالتوزيع منحرف، والنتائج في الذيل المقابل التي تبدو غير مرجحة بقدر نتيجتك ليست صورة مرآتية لها. والطريقة المعيارية تجمع احتمالات كل نتيجة لا تزيد احتمالًا على النتيجة المرصودة.
- كيف أكتب نتيجة اختبار ذي الحدين بأسلوب APA؟
- اذكر العدَدين والاختبار والاحتمال المفترض وقيمة p الدقيقة والفترة: 61 من 150 (p̂ = .41)، اختبار ذي الحدين الدقيق مقابل p₀ = .30: p = .006، فترة الثقة 95% [.33, .49]. اكتب p وp̂ بالمائل، واحذف الصفر الذي قبل الفاصلة العشرية في النسب التي لا تتجاوز 1.
- أي فترة ثقة أذكر؟
- تتلاءم فترة Clopper–Pearson بطبيعتها مع الاختبار الدقيق، وتضمن تغطية اسمية على الأقل، لكنها متحفظة. أما فترة Wilson فأقصر وتغطيتها أقرب إلى المستوى الاسمي، وهي خيار جيد للإبلاغ عن نسبة. وأيًّا كانت الفترة التي تختارها فاذكر أيّهما هي.
- ما الافتراضات التي يقوم عليها اختبار ذي الحدين؟
- أن لكل محاولة نتيجتين فقط، وأن المحاولات مستقلة، وأن احتمال النجاح واحد في كل محاولة، وأن عدد المحاولات محدد مسبقًا. والسحب دون إرجاع من مجتمع صغير يخالف الاستقلال، والنموذج الصحيح حينئذ هو التوزيع فوق الهندسي.