二項検定計算ツール
成功回数、試行回数、検定したい確率p₀を入力すると、3つの対立仮説それぞれについて正確な二項検定のp値、Clopper–Pearson信頼区間、比較用のWilson区間、効果量としてのCohenのhが得られます。帰無仮説のもとでの二項分布も表示されるので、p値に含まれる結果がどれかを確認できます。無料で、登録は不要です。
0から1の間の値。例：0.5や0.25。
成功回数、試行回数、p₀を入力してください。
二項検定計算ツールの使い方
- 1. 回数を入力します。 成功回数（k）と試行回数（n）を入力します。成功とは数えたい結果のことです。コインの表が出た回数、正解した問題数、同意した回答者数などが該当します。
- 2. p₀を入力します。 これは帰無仮説のもとでの成功確率です。公正なコインなら0.5、4択問題の当てずっぽうなら0.25、あるいは公表されている基準値を使います。
- 3. 対立仮説と信頼水準を選びます。 両側は、真の確率がp₀と（どちらの向きにでも）異なるかを問います。片側は、一方向だけを問います。
- 4. 結果を読みます。 正確なp値、真の確率の信頼区間、帰無分布の表が下に表示されます。終わったら、APA形式の一行をコピーできます。
正確な二項検定の仕組み
各試行が独立で、どの試行も同じ確率p₀で成功するなら、成功回数Xは二項分布Binomial(n, p₀)に従います：P(X = j) = C(n, j) p₀j (1 − p₀)n−j。片側のp値は単純な裾の確率です。「確率がp₀より小さい」ならP(X ≤ k)、「大きい」ならP(X ≥ k)を使います。近似を用いないので、どんなnでも有効で、小標本や、確率が0または1に近い場合にも使えます。そうした場合には、正規近似のz検定は当てになりません。
両側のp値には注意が必要です。小さい方の裾を2倍するのは、p₀ = 0.5のときだけ正しくなります。分布が左右対称になるのはそのときだけだからです。このツールは、Rのbinom.testとSciPyのbinomtestと同じ規則を使います。観測された結果より起こりやすくない、つまり観測された結果と同じか、それより起こりにくいすべての結果の確率を合計します。表では数えられた結果に印が付くので、何が含まれたかを正確に確認できます。対称な帰無仮説の場合、これは小さい方の裾の2倍に等しくなります。
真の確率についての信頼区間は、ベータ分布の分位点から作るClopper–Pearson（正確）区間です。この区間は少なくとも示された被覆確率を保証するため、やや広めになります。比較のために、Wilsonのスコア区間も併記します。こちらは狭く、被覆確率は名目値に近くなります。片側の対立仮説では、正確区間もRと同じく片側になります。
具体例：30%の基準値との検定
例を試すをクリックすると、基準値では30%の人が選ぶとされる選択肢を、150人中61人が選んだ調査が読み込まれます。観測された割合はp̂ = .407で、帰無仮説のもとでの期待回数は45です。
正確な二項検定の手順
X ~ Binomial(150, 0.3); P(X = 61) = 0.001418
P(X = 61)以下の起こりやすさの結果：0〜29と61〜150 → 両側p = .0056
片側：P(X ≥ 61) = .0035；P(X ≤ 61) = .998
95% Clopper–Pearson信頼区間 [.327, .490]；Cohenのh = 0.22
APA形式で書くと、この調査では基準値の30%より多くの回答者がこの選択肢を選んだことになります。150人中61人（p̂ = .41）、p₀ = .30に対する正確な二項検定：p = .006、95%信頼区間 [.33, .49]。区間は.30を含まず、検定結果と一致します。h = 0.22は、Cohenの目安（0.2が小、0.5が中、0.8が大）では小から中程度の効果量です。
二項検定か、ほかの検定か？
| 状況 | より適した方法 |
|---|---|
| 1つの割合、どんな標本サイズでも | 正確な二項検定 |
| 大標本で、np₀とn(1 − p₀)がともに10以上 | 正規近似（1標本の比率のz検定）。結果はほぼ一致します |
| 独立した2つの割合 | 2標本の比率のz検定。度数が小さい場合はFisherの正確検定 |
| 対応のあるはい／いいえの結果 | McNemar検定（不一致の組に対する二項検定） |
| 3つ以上のカテゴリーの度数 | 適合度のカイ二乗検定 |
よくある質問
- 二項検定は何に使われますか？
- 成功の割合が、仮定した確率と整合するかを検定します。たとえば、コインが公正か、合格率が目標に一致するか、ある選択肢を選ぶ人の割合が基準値と異なるかを確かめる場合です。二項確率そのものを使うので、どんな標本サイズでも使えます。
- z検定ではなく二項検定を使うのはいつですか？
- 標本が小さいとき、またはp₀が0や1に近いとき、つまりnp₀またはn(1 − p₀)がおよそ10未満のときに使ってください。その場合、z検定の正規近似は信頼できません。標本が大きければ両者はほぼ同じ答えになりますが、正確な検定が誤ることはないので、近似を選ぶ理由はほとんどありません。
- 両側のp値が片側のp値の単純な2倍にならないのはなぜですか？
- 2倍が正しいのは、帰無分布が左右対称である場合、つまりp₀ = 0.5のときだけです。それ以外のp₀では分布は歪んでおり、反対側の裾で観測結果と同じくらい起こりにくい結果は、自分の側の裾の鏡像ではありません。標準的な方法は、観測された結果と同じか、それより起こりにくいすべての結果の確率を合計します。
- APA形式でどのように報告しますか？
- 数値と検定名、仮定した確率、正確なp値、区間を述べます：150人中61人（p̂ = .41）、p₀ = .30に対する正確な二項検定：p = .006、95%信頼区間 [.33, .49]。pとp̂は斜体にし、1を超えない値（割合やp値）の前にある0は省きます。
- どの信頼区間を報告すればよいですか？
- Clopper–Pearson区間は正確な検定と自然に対応し、少なくとも名目の被覆確率を保証しますが、保守的です。Wilson区間はより短く、被覆確率が名目水準に近いので、割合を報告するのに適しています。どちらを選んでも、そのことを明記してください。
- 二項検定はどんな仮定を置きますか？
- 各試行の結果は2通りだけであること、試行は互いに独立であること、どの試行でも成功確率が同じであること、そして試行回数が事前に決められていたことです。小さな母集団から非復元抽出すると独立性が崩れます。その場合は超幾何分布が適したモデルです。