相関係数の比較計算ツール
要約値だけから相関係数を扱えます。生データは不要です。1つのrの信頼区間を求めたり、異なる標本から得た2つの相関係数に差があるかを検定したり（フィッシャーのz、差の信頼区間つき）、同じ人から得た2つの相関係数を比べたり（スタイガーのZ、ウィリアムズのt、ホテリングのt）、複数の研究をまとめたりできます。無料、登録不要。
有効な値を入力してください：各rは −1 と 1 の間（両端を含まない）、各nは3より大きくなければなりません。
相関係数の比較計算ツールの使い方
- 1. 問いを選びます。 1つのrの信頼区間、異なる集団の2つの相関係数の比較（独立）、1つの変数を共有する同じ人からの2つの相関係数の比較（従属）、またはまとめる複数の研究。
- 2. 相関係数と標本サイズを入力します。 各rは −1 と 1 の間（両端を含まない）、各nは3より大きくなければなりません。従属する相関係数では、共有されていない2つの変数どうしの相関係数も必要です。
- 3. 信頼水準と検定の方向を設定します。 既定では95％の区間と両側検定です。方向を事前に決めていた場合にのみ片側検定を選んでください。
- 4. 結果と計算過程を読みます。 APA形式の1行をそのままコピーでき、あなたの数値を使った計算の各段階も表示されます。
どの場面でどの検定を使うか
| 状況 | 使うもの | 方法 |
|---|---|---|
| 1つの標本で、rの誤差の幅を知りたい | rの区間 | フィッシャーのz |
| 群Aのrと群Bのr（別の人々） | 独立した2つの相関係数 | フィッシャーのz検定。差にはZouの区間 |
| 1つの標本で、XがYをどれだけ予測するか と、WがYをどれだけ予測するか | 従属する重なりのある2つの相関係数 | スタイガーのZ（ウィリアムズのt、ホテリングのtも） |
| 同じ関係を調べた複数の研究 | 複数の相関係数 | 異質性のQ検定、プールr |
なぜフィッシャーのzを使うのか？
rの標本分布は、真の相関が0でないかぎり歪んでおり、そのばらつきは未知の値に依存します。フィッシャーの変換 z = atanh(r) = ½ ln((1 + r) ÷ (1 − r)) は、この2つの問題を解決します。zは標準誤差 1 ÷ √(n − 3) で、ほぼ正規分布に従い、ρの値にかかわらず成り立ちます。そこで区間をz尺度で作り、tanhで元に戻します。こうすると区間は −1 から 1 の範囲に収まり、rの周りで非対称になります。それが正しい姿です。
区間
tanh(atanh r ± z* ÷ √(n − 3))
独立した2つのr
z = (atanh r₁ − atanh r₂) ÷ √(1 ÷ (n₁ − 3) + 1 ÷ (n₂ − 3))
具体例
- 1つのr。 40件のケースから得たr = .45 は、95％の区間が 0.1611 から 0.6679 になります。ケースが40しかないので、区間は広くなります。ρ₀ = .2 と比べると、z = 1.7151、p = .0863 となり、.2 と区別できません。
- 独立。 読解と数学の相関が、若い生徒85人では .62、年長の生徒110人では .38 でした。z = 2.2140、p = .0268。差 .24 の95％区間（Zou）は 0.0273 から 0.4478 です。有意ですが、真の差は小さいかもしれません。
- 従属。 1つの標本100人で、予測因子1は結果と .55 の相関があり、予測因子2は .35 の相関があり、2つの予測因子どうしは .40 の相関があります。スタイガーのZ = 2.1129、p = .0346。ウィリアムズのt(97) = 2.1448、p = .0345。ホテリングのt(97) = 2.1848、p = .0313。2つの予測因子の差は有意ですが、n = 100 では真の差はなお小さいかもしれません。
- 複数。 4つの研究：.30（n = 50）、.45（80）、.52（65）、.20（120）。Q(3) = 7.0961、p = .0689、I² = 58％、プールr = .3517、95％信頼区間 0.2494 から 0.4462。研究は異質性を示唆していますが、決定的ではありません。
従属する相関係数に独自の検定が必要な理由
2つの相関係数が変数を1つ共有し、同じ人から得られている場合、その標本誤差は相関しています。Xがたまたま強く見えた標本では、XとWが関連しているなら、Wも強く見えやすいのです。それらを独立とみなすと、この共分散を無視することになり、r_khの値によっては検定が保守的すぎたり、寛大すぎたりします。スタイガーのZは Dunn–Clark 検定を改良したもので、予測因子どうしの相関から共分散を推定します。ウィリアムズのtは古典的なt検定の代替で、小標本でもよく機能します。ホテリングのtは最も古いもので、やや寛大すぎる傾向があります。このツールは3つすべてを報告するので、結果が一致するかを確認できます。重ならない従属する相関係数は扱いません。それには4つの変数の間の6つの相関すべてが必要です。
よくある質問
- 2つの相関係数はどう比べますか？
- 異なる人々から得られたものなら、各相関をフィッシャーのzに変換し、差を √(1 ÷ (n₁ − 3) + 1 ÷ (n₂ − 3)) で割り、その結果を標準正規分布と比べます。同じ人から得られて変数を共有しているなら、スタイガーの検定のような従属する相関の検定を使います。これには3つ目の相関も必要です。
- 独立した相関と従属する相関の違いは何ですか？
- 独立した相関は別々の標本から得られるので、その誤差は無関係です。従属する相関は同じ参加者で測られるので、統計的に結びついています。1つの変数が他の2つと相関する重なりのあるケースが一般的で、その依存を無視すると誤ったp値になります。
- 相関係数の信頼区間はどう求めますか？
- rを z = atanh(r) に変換し、臨界値に 1 ÷ √(n − 3) を掛けたものを足したり引いたりして、tanhで元に戻します。このツールはそれを行っており、Rの cor.test が報告する区間もこれです。区間はrの周りで対称ではなく、nが大きいほど狭くなります。
- なぜ n − 3 で、n − 2 ではないのですか？
- 相関に対するt検定は、2つのパラメータを推定するため n − 2 の自由度を使います。フィッシャーのzは、変換された係数の大標本での振る舞いから導かれた、別の近似の分散 1 ÷ (n − 3) を持ちます。どちらも別々の結果で、矛盾ではありません。
- どの従属する相関の検定を使うべきですか？
- スタイガーのZとウィリアムズのtはどちらも誤り率をよく保ちます。選択によって結論が変わることはまれで、このツールは両方を示します。小標本ではウィリアムズのtを優先してください。ホテリングのtは完全性のために示していますが、小標本での誤り率の膨張はよく知られています。
- 群の間で相関が違うかを、回帰で調べることはできますか？
- はい。両方の変数を標準化してから、プールしたデータで回帰をおこない、群と予測因子の交互作用を検定します。結果は独立した群へのフィッシャーのzと似ており、共変量や3つ以上の群にも拡張できますが、要約統計量ではなく生データが必要です。