経験則計算ツール
平均と標準偏差を入力するか、データを貼り付けると、値のおよそ68%、95%、99.7%が収まる区間が得られます。区間は影付きの釣り鐘曲線に描かれ、正規分布の正確な割合や、どんな分布にも成り立つチェビシェフの保証された最小値と並べて示されます。データを貼り付けると、実際に区間内に入っている値の数も数えます。無料で、登録は不要です。
各区間に入ると予想される個数を示します。
平均 ± k SD の行を追加し、正規分布の正確な割合とチェビシェフの限界を示します。
上に平均と0より大きい標準偏差を入力するか、データの一覧に切り替えると、68–95–99.7の区間が表示されます。
経験則計算ツールの使い方
- 1. 出発点を選びます。 平均と標準偏差を入力するか、「データの一覧」に切り替えて数値を貼り付けます。その場合、計算ツールが平均と標本標準偏差を求めます。
- 2. 任意の項目を追加します。 値の数を入力すると、各区間に入ると予想される個数が出ます。独自の標準偏差の数を入力すると、2.5など任意の距離の行が加わります。
- 3. 区間を読みます。 3つのカードに、値のおよそ68%、95%、99.7%が収まる範囲が示されます。影付きの曲線では、それらが入れ子になっていることがわかります。
- 4. 比較します。 表には、この則と正規分布の正確な割合、そしてどんな分布にも成り立つチェビシェフの最小値が並べられます。データを貼り付けた場合は、各区間に実際に入っている値の数も示されます。
68–95–99.7則
正規分布に従うデータでは、値のおよそ68%が平均から標準偏差1つ分以内に、およそ95%が2つ分以内に、およそ99.7%が3つ分以内に収まります。平均をμ、標準偏差をσとすると、区間はμ ± σ、μ ± 2σ、μ ± 3σです。3シグマ則とも呼ばれます。
| 区間 | 則による値 | 正規分布の正確な割合 | 片側の裾 |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68% | 68.27% | 15.87% |
| μ ± 2σ | 95% | 95.45% | 2.28% |
| μ ± 3σ | 99.7% | 99.73% | 0.13% |
正確な割合は 2Φ(k) − 1 で、Φは標準正規分布の累積分布関数です。「片側の裾」は、区間の外側に残る部分の半分です。
この則は四捨五入された要約なので、精度が必要な場合は正確な値を使ってください。zが2のとき、その上側には2.28%が残り、則が示唆する2.5%ではありません。曲線は左右対称なので、この則は半分ずつにも分けられます。平均から標準偏差1つ分上までに約34%の値が、平均から2つ分までに約47.5%、平均から3つ分までに約49.85%の値が収まります。
データが正規分布でない場合：チェビシェフの不等式
経験則には、釣り鐘型でほぼ左右対称の分布が必要です。チェビシェフの不等式は、有限の分散があるという条件だけを必要とします。どんな分布でも、値の少なくとも 1 − 1 ÷ k² が、平均から k 標準偏差以内に収まります。これは1標準偏差を超える場合にのみ意味があり、2σ以内に少なくとも75%、3σ以内に少なくとも88.89%を保証します。一般性を得る代償として、これは推定値ではなく下限です。正規分布のデータでは、真の割合（95.45%と99.73%）ははるかに高くなります。
具体例
「例を試す」をクリックしてください。1,000人の学生の試験の点数で、平均は72、標準偏差は8です。点数のおよそ68%は 72 − 8 = 64 から 72 + 8 = 80 の間に、およそ95%は56から88の間に、およそ99.7%は48から96の間にあります。正規分布の正確な割合では、1,000人のうちその区間内に、682.7人、954.5人、997.3人が入ると予想されます。任意の k として2.5を入れると、区間は52から92となり、正規分布では98.76%、どんな分布でも少なくとも84%を含みます。
次に「データの例を試す」を試してください。52から95までの25個の点数です。平均は72.08、標本標準偏差は9.183なので、1標準偏差の区間は62.897から81.263です。25個の点数のうち19個（76%）がその内側にあり、2標準偏差以内には23個（92%）、3標準偏差以内には全25個が入ります。1標準偏差では68%よりやや高く、2標準偏差では95%よりやや低くなっています。これは小さい標本で偶然生じる程度のずれであり、正規分布からの実質的な乖離を示すものではありません。
則が当てはまるかどうかの確認
まずヒストグラムを見てください。山が一つで、ほぼ左右対称で、長い裾がないかを確かめます。次に、自分のデータにおける割合を上の表と比べます。1標準偏差以内に値が多すぎて、3つ分を超える値も多すぎる場合は裾が重いことを示し、偏った形なら歪みを示します。正式な検定にはシャピロ・ウィルク正規性検定計算ツールを使うか、歪度・尖度計算ツールを確認してください。
よくある質問
- 統計学の経験則とは何ですか？
- 正規分布では、値のおよそ68%が平均から標準偏差1つ分以内に、およそ95%が2つ分以内に、およそ99.7%が3つ分以内に収まる、という法則です。z表を使わずに、ある値がどのくらい珍しいかを素早く判断できます。68–95–99.7則または3シグマ則とも呼ばれます。
- 経験則はどのように使いますか？
- 平均と標準偏差を求め、平均から1つ分、2つ分、3つ分の標準偏差を足したり引いたりします。平均が72、標準偏差が8なら、値のおよそ68%は64から80の間に、およそ95%は56から88の間にあります。2つの値の間の割合を求めるには、それぞれを平均からの距離（標準偏差の数）に換算し、対応する部分を足し合わせます。
- 平均から標準偏差1つ分までの間には、どのくらいの割合がありますか？
- 約34%で、標準偏差1つ分以内の68%の半分です。曲線が左右対称だからです。正確な値は34.13%です。平均より上の1から2標準偏差の間には約13.5%（正確には13.59%）、2から3標準偏差の間には約2.14%があります。
- 経験則とチェビシェフの定理の違いは何ですか？
- 経験則は、釣り鐘型で左右対称のデータに対する近似の割合しか与えません。チェビシェフの定理は、どんな分布に対しても保証された最小値を与え、その値は 1 − 1 ÷ k² で、はるかに低くなります。たとえば2標準偏差以内では、約95%ではなく75%です。データが正規分布に見えるときは経験則を、分布の形がまったく分からないときはチェビシェフを使います。
- 経験則は正規分布でないデータにも使えますか？
- おおよそでしか使えず、歪んだ分布や裾の重い分布には使えません。歪んだ分布では両側の裾が不均等になるため、則の左右対称な分割が成り立たず、裾が重いと3標準偏差を超える値が0.3%より多くなります。まず形を確かめるか、チェビシェフの保証を利用してください。
- なぜ100%ではなく99.7%なのですか？
- 正規曲線はゼロに触れることがないため、3標準偏差を超える値は常に存在します。合計でおよそ0.27%、片側ごとに0.13%です。そのため3シグマ則では、3標準偏差を超える点は珍しいとみなしますが、大規模なデータセットではいくつか出ることが予想されます。