अनुभवजन्य नियम कैलकुलेटर
माध्य और मानक विचलन दर्ज करें — या अपना डेटा चिपकाएँ — और वे अंतराल पाएँ जिनमें लगभग 68%, 95% और 99.7% मान आते हैं। ये छायांकित घंटी-वक्र पर दिखते हैं और सटीक सामान्य हिस्सों तथा चेबीशेव की गारंटीशुदा न्यूनतम सीमाओं के साथ रखे जाते हैं। डेटा चिपकाने पर यह गिनता है कि वास्तव में कितने मान हर अंतराल में आते हैं। निःशुल्क, पंजीकरण आवश्यक नहीं।
हर अंतराल के भीतर अपेक्षित गिनती देता है।
माध्य ± k SD के लिए एक पंक्ति जोड़ता है, सटीक सामान्य हिस्से और चेबीशेव की सीमा के साथ।
ऊपर माध्य और मानक विचलन (0 से बड़ा) दर्ज करें — या डेटा की सूची चुनें — ताकि 68–95–99.7 अंतराल दिखें।
अनुभवजन्य नियम कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. शुरुआती बिंदु चुनें। माध्य और मानक विचलन दर्ज करें, या “डेटा की सूची” पर जाकर अपनी संख्याएँ चिपकाएँ — फिर कैलकुलेटर माध्य और नमूना मानक विचलन खुद निकाल देता है।
- 2. वैकल्पिक विवरण जोड़ें। मानों की संख्या हर अंतराल के भीतर अपेक्षित गिनती देती है; आपका अपना SD की संख्या किसी भी दूरी के लिए एक पंक्ति जोड़ती है, जैसे 2.5।
- 3. अंतराल पढ़ें। तीन कार्ड बताते हैं कि लगभग 68%, 95% और 99.7% मान किन सीमाओं में हैं, और छायांकित वक्र उन्हें एक के भीतर एक दिखाता है।
- 4. तुलना करें। तालिका नियम को सटीक सामान्य हिस्सों और चेबीशेव की न्यूनतम सीमा के साथ रखती है, जो किसी भी वितरण पर लागू होती है। चिपकाए गए डेटा के साथ, वह यह भी दिखाती है कि आपके कितने मान हर अंतराल में वास्तव में आते हैं।
68–95–99.7 नियम
सामान्य वितरण वाले डेटा के लिए, लगभग 68% मान माध्य से एक मानक विचलन के भीतर, लगभग 95% दो के भीतर, और लगभग 99.7% तीन के भीतर होते हैं। प्रतीकों में, माध्य μ और मानक विचलन σ के साथ अंतराल μ ± σ, μ ± 2σ और μ ± 3σ हैं। इसे तीन-सिग्मा नियम भी कहते हैं।
| अंतराल | नियम कहता है | सटीक सामान्य हिस्सा | हर पूँछ |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68% | 68.27% | 15.87% |
| μ ± 2σ | 95% | 95.45% | 2.28% |
| μ ± 3σ | 99.7% | 99.73% | 0.13% |
सटीक हिस्से 2Φ(k) − 1 हैं, जहाँ Φ मानक सामान्य संचयी बंटन फलन है। “हर पूँछ” बचे हुए का आधा है।
यह नियम एक पूर्णांकित सारांश है, इसलिए जब सटीकता मायने रखती हो तो सटीक आँकड़े उपयोग करें — z = 2 के ऊपर 2.28% रहता है, न कि वह 2.5% जो नियम से लगता है। वक्र सममित होने के कारण नियम दो हिस्सों में भी बँटता है: लगभग 34% मान माध्य और उससे एक मानक विचलन ऊपर के बीच, लगभग 47.5% माध्य और दो के बीच, और लगभग 49.85% माध्य और तीन के बीच होते हैं।
जब डेटा सामान्य न हो: चेबीशेव की असमानता
अनुभवजन्य नियम के लिए घंटी-आकार, लगभग सममित वितरण चाहिए। चेबीशेव की असमानता को केवल सीमित प्रसरण चाहिए: किसी भी वितरण के लिए कम से कम 1 − 1 ÷ k² मान माध्य से k मानक विचलन के भीतर होते हैं। यह एक मानक विचलन से आगे ही उपयोगी है — यह गारंटी देता है कि 2σ के भीतर कम से कम 75% और 3σ के भीतर कम से कम 88.89% मान हैं। सामान्यता की कीमत यह है कि यह एक न्यूनतम सीमा है, अनुमान नहीं; सामान्य डेटा के लिए असली हिस्से (95.45% और 99.73%) कहीं ऊँचे हैं।
हल किए गए उदाहरण
“उदाहरण आज़माएँ” पर क्लिक करें: 1,000 छात्रों के परीक्षा अंक, माध्य 72 और मानक विचलन 8। लगभग 68% अंक 72 − 8 = 64 और 72 + 8 = 80 के बीच हैं; लगभग 95% 56 और 88 के बीच; और लगभग 99.7% 48 और 96 के बीच। सटीक सामान्य हिस्सों से, उन अंतरालों में 1,000 में से 682.7, 954.5 और 997.3 मानों की अपेक्षा होगी। वैकल्पिक k = 2.5 के साथ अंतराल 52 से 92 है, जो सामान्य वितरण के 98.76% और किसी भी वितरण के कम से कम 84% को समेटता है।
अब “डेटा उदाहरण आज़माएँ” — 52 से 95 तक के 25 अंक। उनका माध्य 72.08 और नमूना मानक विचलन 9.183 है, इसलिए एक-SD अंतराल 62.897 से 81.263 है। 25 में से 19 (76%) अंदर हैं, 23 (92%) दो मानक विचलन के भीतर, और सभी 25 तीन के भीतर। यह एक SD पर 68% से थोड़ा ऊपर और दो पर 95% से थोड़ा नीचे है — इतने छोटे नमूने से जितना अंतर आ सकता है, उतना; सामान्यता से वास्तविक विचलन का कोई संकेत नहीं है।
जाँचना कि नियम लागू होता है या नहीं
पहले हिस्टोग्राम देखें: एक ही उभार, लगभग सममित, कोई लंबी पूँछ नहीं। फिर अपने डेटा में हिस्सों की तुलना ऊपर की तालिका से करें। एक SD के भीतर बहुत अधिक मान और तीन से परे बहुत अधिक मान भारी पूँछ का संकेत देते हैं; एक तरफ़ झुका पैटर्न तिरछेपन (skew) का संकेत है। औपचारिक जाँच के लिए Shapiro-Wilk calculator देखें, या skewness and kurtosis पर जाएँ।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- सांख्यिकी में अनुभवजन्य नियम क्या है?
- यह कहता है कि सामान्य वितरण में लगभग 68% मान माध्य से एक मानक विचलन के भीतर, लगभग 95% दो के भीतर और लगभग 99.7% तीन के भीतर होते हैं। z-तालिका के बिना किसी मान के असामान्य होने को जल्दी आँकने का यह तरीका है। इसे 68–95–99.7 नियम या तीन-सिग्मा नियम भी कहते हैं।
- अनुभवजन्य नियम का उपयोग कैसे करें?
- माध्य और मानक विचलन निकालें, फिर माध्य से एक, दो और तीन मानक विचलन जोड़ें और घटाएँ। माध्य 72 और SD 8 के लिए, लगभग 68% मान 64 और 80 के बीच हैं, और लगभग 95% 56 और 88 के बीच। दो मानों के बीच का प्रतिशत जानने के लिए, उन्हें माध्य से SD की दूरी में बदलें और मेल खाते हिस्से जोड़ें।
- माध्य और एक मानक विचलन के बीच कितना प्रतिशत है?
- लगभग 34% — 68% का आधा, क्योंकि सामान्य वक्र सममित है। सटीक आँकड़ा 34.13% है। माध्य से ऊपर एक और दो मानक विचलन के बीच लगभग 13.5% (सटीक 13.59%), और दो और तीन के बीच लगभग 2.14% है।
- अनुभवजन्य नियम और चेबीशेव प्रमेय में क्या अंतर है?
- अनुभवजन्य नियम केवल घंटी-आकार, सममित डेटा के लिए लगभग प्रतिशत देता है। चेबीशेव प्रमेय किसी भी वितरण के लिए गारंटीशुदा न्यूनतम देता है, 1 − 1 ÷ k², जो कहीं कम है: दो मानक विचलन के भीतर लगभग 95% के बजाय 75%। जब डेटा सामान्य लगे तब नियम उपयोग करें, और जब आकार के बारे में कुछ न पता हो तब चेबीशेव।
- क्या अनुभवजन्य नियम गैर-सामान्य डेटा पर काम करता है?
- केवल मोटे तौर पर, और तिरछे या भारी-पूँछ वाले डेटा पर नहीं। तिरछे वितरण में दोनों पूँछें असमान होती हैं, इसलिए नियम के सममित हिस्से विफल होते हैं, और भारी पूँछें तीन मानक विचलन से परे 0.3% से अधिक मान डाल देती हैं। पहले आकार जाँचें, या चेबीशेव की गारंटी पर लौटें।
- 99.7% ही क्यों, 100% क्यों नहीं?
- सामान्य वक्र कभी शून्य को नहीं छूता, इसलिए कुछ मान हमेशा तीन मानक विचलन से परे रहते हैं — कुल लगभग 0.27%, या हर पूँछ में 0.13%। इसीलिए तीन-सिग्मा नियम तीन SD से परे के बिंदु को असामान्य मानता है, हालाँकि बड़े डेटासेट में कुछ ऐसे बिंदु अपेक्षित होते हैं।