经验法则计算器
输入均值和标准差,或粘贴您的数据,即可得到分别包含约 68%、95% 和 99.7% 数值的区间。结果会绘制在阴影钟形曲线上,并与精确的正态分布占比及切比雪夫保证的最小占比并列。粘贴数据时,还会统计实际落入各区间的数值个数。免费,无需注册。
给出每个区间内的预期个数。
增加一行 均值 ± k 倍标准差,附精确正态占比与切比雪夫界。
请在上方输入均值和大于零的标准差——或切换到数据列表——即可查看 68–95–99.7 区间。
如何使用经验法则计算器
- 1. 选择起始点。 输入均值与标准差,或切换到“数据列表”并粘贴您的数字——计算器会为您求出均值与样本标准差。
- 2. 添加可选项。 输入数值个数,可得到每个区间内的预期个数;输入您自定义的标准差倍数,则会增加一行,表示任意距离,例如 2.5 个标准差。
- 3. 阅读区间。 三张卡片给出包含约 68%、95% 和 99.7% 数值的范围,阴影曲线则将它们逐层嵌套展示。
- 4. 进行比较。 表格将经验法则与精确的正态占比,以及对任何分布都成立的切比雪夫最小占比并列。粘贴数据时,还会显示您的数值实际落入每个区间的个数。
68–95–99.7 法则
对于服从正态分布的数据,约 68% 的数值落在均值一个标准差之内,约 95% 落在两个标准差之内,约 99.7% 落在三个标准差之内。若以 μ 表示均值、σ 表示标准差,则区间为 μ ± σ、μ ± 2σ 和 μ ± 3σ。它也被称为三西格玛法则。
| 区间 | 法则所述 | 精确正态占比 | 每侧尾部 |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68% | 68.27% | 15.87% |
| μ ± 2σ | 95% | 95.45% | 2.28% |
| μ ± 3σ | 99.7% | 99.73% | 0.13% |
精确占比为 2Φ(k) − 1,其中 Φ 为标准正态累积分布函数。“每侧尾部”是剩余部分的一半。
该法则是四舍五入后的概括,因此需要精确结果时请使用精确数值——z 为 2 时,上方的占比为 2.28%,而非法则所暗示的 2.5%。由于曲线对称,该法则也可对半拆分:约 34% 的数值位于均值与高于均值一个标准差之间,约 47.5% 位于均值与两个标准差之间,约 49.85% 位于均值与三个标准差之间。
当数据并非正态时:切比雪夫不等式
经验法则要求数据呈钟形、大致对称的分布。切比雪夫不等式只需要有限的方差:对于任何分布,至少有 1 − 1 ÷ k² 的数值落在均值的 k 个标准差之内。它只有在超过一个标准差时才有意义——它保证至少 75% 的数值落在 2σ 之内,至少 88.89% 落在 3σ 之内。其通用性的代价是它只是一个下界,而不是估计值;对于正态数据,真实占比(95.45% 与 99.73%)要高得多。
示例
点击“试用示例”:1,000 名学生的考试成绩,均值为 72,标准差为 8。约 68% 的成绩介于 72 − 8 = 64 与 72 + 8 = 80 之间;约 95% 介于 56 与 88 之间;约 99.7% 介于 48 与 96 之间。按精确的正态占比计算,在这 1,000 名学生中,预计分别有 682.7、954.5 和 997.3 人落在这些区间内。若取可选的 k 为 2.5,则区间为 52 至 92,按正态分布占 98.76%,对任何分布至少占 84%。
现在试用“数据示例”:25 个成绩,介于 52 至 95 之间。它们的均值为 72.08,样本标准差为 9.183,因此一个标准差区间为 62.897 至 81.263。在这 25 个成绩中,有 19 个(76%)落在区间内,23 个(92%)位于两个标准差之内,全部 25 个位于三个标准差之内。在一个标准差处略高于 68%,在两个标准差处略低于 95%——样本如此之小时,偶然出现这样的差距是正常的,因此没有迹象表明数据偏离了正态。
检验法则是否适用
先看直方图:应只有一个峰,大致对称,没有长尾。然后将您自己数据中的占比与上表对照。一个标准差以内的数值过多、而三个标准差以外的数值也过多,说明存在厚尾;分布明显偏向一侧则说明存在偏态。若需要正式检验,请使用夏皮罗-威尔克正态性检验计算器,或查看偏度与峰度计算器。
常见问题
- 统计学中的经验法则是什么?
- 它指出,在正态分布中,约 68% 的数值落在均值一个标准差之内,约 95% 落在两个标准差之内,约 99.7% 落在三个标准差之内。无需查 Z 表,即可快速判断某个数值有多不寻常。它也被称为 68–95–99.7 法则或三西格玛法则。
- 如何使用经验法则?
- 求出均值与标准差,然后在均值上下各加减一、两、三个标准差。若均值为 72、标准差为 8,则约 68% 的数值介于 64 与 80 之间,约 95% 介于 56 与 88 之间。要求两个数值之间的百分比,可先将它们换算为距均值的标准差距离,再相加对应的各段。
- 均值与高于均值一个标准差之间约占多少?
- 约 34%,即 68% 的一半,因为正态曲线是对称的。精确值为 34.13%。高于均值一至两个标准差之间约占 13.5%(精确值为 13.59%),两至三个标准差之间约占 2.14%。
- 经验法则与切比雪夫定理有何区别?
- 经验法则给出近似的百分比,但仅适用于呈钟形、对称的数据。切比雪夫定理则给出对任何分布都成立的最小保证值,即 1 − 1 ÷ k²,它要低得多:两个标准差之内为 75%,而非约 95%。数据看起来服从正态时使用经验法则;对分布形状一无所知时使用切比雪夫。
- 经验法则能否用于非正态数据?
- 只能粗略地使用,且不适用于偏态或厚尾数据。在偏态分布中,两侧尾部不相等,因此法则的对称拆分不成立;厚尾会使超过 0.3% 的数值落在三个标准差之外。应先检查分布形状,或退而采用切比雪夫的保证。
- 为什么是 99.7% 而不是 100%?
- 正态曲线永远不会触及零,因此总有一些数值超出三个标准差——合计约 0.27%,每侧尾部约 0.13%。这就是为什么三西格玛法则把超出三个标准差的点视为不寻常,不过在大型数据集中,出现少量此类点是正常的。