Calculadora de la regla empírica
Introduce una media y una desviación típica —o pega tus datos— y obtén los intervalos que contienen aproximadamente el 68 %, el 95 % y el 99,7 % de los valores, dibujados sobre una curva de campana sombreada y junto a las proporciones normales exactas y a los mínimos garantizados de Chebyshev. Si pegas datos, también cuenta cuántos valores caen realmente dentro. Gratis, sin registro.
Da el recuento esperado dentro de cada intervalo.
Añade una fila para la media ± k DT, con la proporción normal exacta y la cota de Chebyshev.
Introduce una media y una desviación típica mayores que cero —o cambia a una lista de datos— para ver los intervalos 68–95–99,7.
Cómo usar la calculadora de la regla empírica
- 1. Elige tu punto de partida. Introduce una media y una desviación típica, o cambia a «Una lista de datos» y pega tus números: la calculadora calcula por ti la media y la desviación típica muestral.
- 2. Añade los extras opcionales. Un número de valores da el recuento esperado dentro de cada intervalo; tu propio número de DT añade una fila para la distancia que quieras, por ejemplo 2,5.
- 3. Lee los intervalos. Las tres tarjetas dan los rangos que contienen aproximadamente el 68 %, el 95 % y el 99,7 % de los valores, y la curva sombreada los muestra anidados.
- 4. Compara. La tabla pone la regla junto a las proporciones normales exactas y al mínimo de Chebyshev, que se cumple para cualquier distribución. Con datos pegados, muestra además cuántos de tus valores caen realmente en cada intervalo.
La regla 68-95-99,7
Para datos que siguen una distribución normal, alrededor del 68 % de los valores está a una desviación típica de la media, alrededor del 95 % a dos y alrededor del 99,7 % a tres. Con media μ y desviación típica σ, los intervalos son μ ± σ, μ ± 2σ y μ ± 3σ. También se llama regla de los tres sigmas.
| Intervalo | La regla dice | Proporción normal exacta | Cada cola |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68 % | 68,27 % | 15,87 % |
| μ ± 2σ | 95 % | 95,45 % | 2,28 % |
| μ ± 3σ | 99,7 % | 99,73 % | 0,13 % |
Las proporciones exactas son 2Φ(k) − 1, donde Φ es la función de distribución acumulada de la normal estándar. «Cada cola» es la mitad de lo que queda fuera.
La regla es un resumen redondeado, así que usa las cifras exactas cuando importe la precisión: una z de 2 deja fuera un 2,28 %, no el 2,5 % que sugiere la regla. Como la curva es simétrica, la regla también se reparte por mitades: alrededor del 34 % de los valores está entre la media y una desviación típica por encima de ella, cerca del 47,5 % entre la media y dos, y cerca del 49,85 % entre la media y tres.
Cuando los datos no son normales: la desigualdad de Chebyshev
La regla empírica necesita una distribución en forma de campana y aproximadamente simétrica. La desigualdad de Chebyshev solo necesita una varianza finita: al menos 1 − 1 ÷ k² de los valores está dentro de k desviaciones típicas de la media, para cualquier distribución. Solo es informativa por encima de una desviación típica: garantiza al menos el 75 % dentro de 2σ y al menos el 88,89 % dentro de 3σ. El precio de la generalidad es que es un mínimo, no una estimación; para datos normales, las proporciones reales (95,45 % y 99,73 %) son mucho más altas.
Ejemplos desarrollados
Pulsa «Probar un ejemplo»: notas de un examen con media 72 y desviación típica 8, de 1000 estudiantes. Alrededor del 68 % de las notas está entre 72 − 8 = 64 y 72 + 8 = 80; alrededor del 95 %, entre 56 y 88; y alrededor del 99,7 %, entre 48 y 96. Según las proporciones normales exactas, esperarías 682,7, 954,5 y 997,3 de los 1000 dentro de esos intervalos. Con el k opcional de 2,5, el intervalo va de 52 a 92, que contiene el 98,76 % de una distribución normal y al menos el 84 % de cualquier distribución.
Ahora prueba «Probar un ejemplo de datos»: 25 notas entre 52 y 95. Su media es 72,08 y su desviación típica muestral 9,183, así que el intervalo de una DT va de 62,897 a 81,263. De las 25 notas, 19 (76 %) caen dentro, 23 (92 %) están dentro de dos desviaciones típicas y las 25 están dentro de tres. Eso es algo más que el 68 % a una DT y algo menos que el 95 % a dos: el tipo de diferencia que produce una muestra tan pequeña por azar, así que no hay indicios de un alejamiento real de la normalidad.
Comprobar si la regla se aplica
Mira primero el histograma: una sola joroba, más o menos simétrica, sin cola larga. Luego compara las proporciones de tus datos con la tabla, como antes. Un exceso grande dentro de una DT con demasiados valores más allá de tres indica colas pesadas; un patrón asimétrico indica sesgo. Para una comprobación formal, usa la calculadora de la prueba de normalidad de Shapiro-Wilk o mira la asimetría y la curtosis.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es la regla empírica en estadística?
- Dice que, en una distribución normal, alrededor del 68 % de los valores cae a una desviación típica de la media, alrededor del 95 % a dos y alrededor del 99,7 % a tres. Es una forma rápida de juzgar lo inusual que es un valor sin una tabla z, y también se llama regla 68-95-99,7 o regla de los tres sigmas.
- ¿Cómo se usa la regla empírica?
- Calcula la media y la desviación típica, y suma y resta una, dos y tres desviaciones típicas a la media. Con media 72 y DT 8, alrededor del 68 % de los valores está entre 64 y 80, y alrededor del 95 % entre 56 y 88. Para hallar un porcentaje entre dos valores, conviértelos en distancias a la media en DT y suma los trozos correspondientes.
- ¿Qué porcentaje cae entre la media y una desviación típica?
- Alrededor del 34 %, la mitad del 68 % que queda dentro de una desviación típica, porque la curva normal es simétrica. La cifra exacta es 34,13 %. Entre una y dos desviaciones típicas por encima de la media cae alrededor del 13,5 % (13,59 % exacto), y entre dos y tres, alrededor del 2,14 %.
- ¿Cuál es la diferencia entre la regla empírica y el teorema de Chebyshev?
- La regla empírica da porcentajes aproximados, pero solo para datos en forma de campana y simétricos. El teorema de Chebyshev da un mínimo garantizado para cualquier distribución, 1 − 1 ÷ k², que es mucho más bajo: el 75 % dentro de dos desviaciones típicas en lugar de cerca del 95 %. Usa la regla cuando los datos parezcan normales y Chebyshev cuando no sepas nada sobre su forma.
- ¿Funciona la regla empírica con datos no normales?
- Solo de forma aproximada, y no con datos asimétricos o de colas pesadas. En una distribución asimétrica las dos colas son desiguales, así que las divisiones simétricas de la regla fallan, y las colas pesadas dejan más del 0,3 % de los valores más allá de tres desviaciones típicas. Comprueba primero la forma o recurre a la garantía de Chebyshev.
- ¿Por qué es 99,7 % y no 100 %?
- La curva normal nunca toca cero, así que siempre queda algún valor más allá de tres desviaciones típicas: alrededor del 0,27 % en total, o 0,13 % en cada cola. Por eso la regla de los tres sigmas considera inusual un punto a más de tres DT, aunque en un conjunto grande se espera que haya algunos.