Calculateur de la règle empirique
Saisissez une moyenne et un écart type — ou collez vos données — et obtenez les intervalles qui contiennent environ 68 %, 95 % et 99,7 % des valeurs, tracés sur une courbe en cloche ombrée et comparés aux parts exactes de la loi normale et aux minimums garantis de Bienaymé-Tchebychev. Si vous collez des données, le calculateur compte aussi combien de valeurs se trouvent réellement dans chaque intervalle. Gratuit, sans inscription.
Donne l'effectif attendu dans chaque intervalle.
Ajoute une ligne pour la moyenne ± k écarts types, avec la part exacte de la loi normale et la borne de Bienaymé-Tchebychev.
Saisissez une moyenne et un écart type supérieur à zéro — ou passez à une liste de données — pour voir les intervalles 68-95-99,7.
Comment utiliser le calculateur de la règle empirique
- 1. Choisissez votre point de départ. Saisissez une moyenne et un écart type, ou passez à « Une liste de données » et collez vos nombres : le calculateur trouve alors la moyenne et l'écart type d'échantillon pour vous.
- 2. Ajoutez les options facultatives. Un nombre de valeurs donne l'effectif attendu dans chaque intervalle ; votre propre nombre d'écarts types ajoute une ligne pour toute distance souhaitée, par exemple 2,5.
- 3. Lisez les intervalles. Les trois cartes donnent les plages qui contiennent environ 68 %, 95 % et 99,7 % des valeurs, et la courbe ombrée les montre emboîtées.
- 4. Comparez. Le tableau place la règle à côté des parts exactes de la loi normale et du minimum de Bienaymé-Tchebychev, valable pour toute distribution. Avec des données collées, il indique aussi combien de vos valeurs se trouvent réellement dans chaque intervalle.
La règle 68-95-99,7
Pour des données qui suivent une loi normale, environ 68 % des valeurs se situent à moins d'un écart type de la moyenne, environ 95 % à moins de deux, et environ 99,7 % à moins de trois. En notation symbolique, avec une moyenne μ et un écart type σ, les intervalles sont μ ± σ, μ ± 2σ et μ ± 3σ. On l'appelle aussi règle des trois sigma.
| Intervalle | La règle indique | Part exacte de la loi normale | Chaque queue |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68 % | 68,27 % | 15,87 % |
| μ ± 2σ | 95 % | 95,45 % | 2,28 % |
| μ ± 3σ | 99,7 % | 99,73 % | 0,13 % |
Les parts exactes valent 2Φ(k) − 1, où Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. « Chaque queue » désigne la moitié de ce qui reste.
La règle est un résumé arrondi : utilisez les valeurs exactes lorsque la précision compte. Un z de 2 laisse 2,28 % au-dessus de lui, et non les 2,5 % qu'implique la règle. La courbe étant symétrique, la règle se coupe aussi en deux : environ 34 % des valeurs se situent entre la moyenne et un écart type au-dessus, environ 47,5 % entre la moyenne et deux, et environ 49,85 % entre la moyenne et trois.
Lorsque les données ne suivent pas une loi normale : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
La règle empirique suppose une distribution en cloche, à peu près symétrique. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne demande qu'une variance finie : au moins 1 − 1 ÷ k² des valeurs se situent à moins de k écarts types de la moyenne, quelle que soit la distribution. Elle n'est informative qu'au-delà d'un écart type : elle garantit au moins 75 % des valeurs à moins de 2σ et au moins 88,89 % à moins de 3σ. Le prix de cette généralité est qu'il s'agit d'un plancher, et non d'une estimation ; pour des données normales, les parts réelles (95,45 % et 99,73 %) sont bien plus élevées.
Exemples détaillés
Cliquez sur « Essayer un exemple » : des notes d'examen de moyenne 72 et d'écart type 8, pour 1 000 étudiants. Environ 68 % des notes se situent entre 72 − 8 = 64 et 72 + 8 = 80 ; environ 95 % entre 56 et 88 ; et environ 99,7 % entre 48 et 96. D'après les parts exactes de la loi normale, on attend respectivement 682,7, 954,5 et 997,3 des 1 000 valeurs dans ces intervalles. Avec le k facultatif de 2,5, l'intervalle va de 52 à 92 ; il contient 98,76 % d'une distribution normale et au moins 84 % de toute distribution.
Essayez maintenant « Essayer un exemple de données » : 25 notes allant de 52 à 95. Leur moyenne est 72,08 et leur écart type d'échantillon 9,183, donc l'intervalle à un écart type va de 62,897 à 81,263. Parmi les 25 notes, 19 (76 %) s'y trouvent, 23 (92 %) se situent à moins de deux écarts types et les 25 à moins de trois. C'est un peu plus que 68 % à un écart type et un peu moins que 95 % à deux : le type d'écart qu'un échantillon aussi petit produit par hasard, donc rien n'indique un véritable écart à la normalité.
Vérifier si la règle s'applique
Regardez d'abord l'histogramme : une seule bosse, à peu près symétrique, sans longue queue. Comparez ensuite les parts observées dans vos données au tableau, comme ci-dessus. Un fort excédent à moins d'un écart type, avec trop de valeurs au-delà de trois, signale des queues lourdes ; une répartition déséquilibrée signale une asymétrie. Pour un test formel, utilisez le calculateur de Shapiro-Wilk ou consultez l'asymétrie et l'aplatissement.
Questions fréquentes
- Qu'est-ce que la règle empirique en statistique ?
- Elle dit que, dans une loi normale, environ 68 % des valeurs se situent à moins d'un écart type de la moyenne, environ 95 % à moins de deux et environ 99,7 % à moins de trois. C'est un moyen rapide d'estimer le caractère inhabituel d'une valeur sans table z ; on l'appelle aussi règle 68-95-99,7 ou règle des trois sigma.
- Comment utiliser la règle empirique ?
- Trouvez la moyenne et l'écart type, puis ajoutez et retranchez un, deux et trois écarts types à la moyenne. Pour une moyenne de 72 et un écart type de 8, environ 68 % des valeurs se situent entre 64 et 80, et environ 95 % entre 56 et 88. Pour trouver un pourcentage compris entre deux valeurs, convertissez-les en distances à la moyenne exprimées en écarts types, puis additionnez les morceaux correspondants.
- Quel pourcentage se situe entre la moyenne et un écart type ?
- Environ 34 %, soit la moitié des 68 % situés à moins d'un écart type, car la courbe normale est symétrique. La valeur exacte est 34,13 %. Entre un et deux écarts types au-dessus de la moyenne se trouvent environ 13,5 % (13,59 % exactement), et entre deux et trois écarts types environ 2,14 %.
- Quelle est la différence entre la règle empirique et le théorème de Bienaymé-Tchebychev ?
- La règle empirique donne des pourcentages approximatifs, mais seulement pour des données en cloche et symétriques. Le théorème de Bienaymé-Tchebychev donne un minimum garanti pour toute distribution, 1 − 1 ÷ k², bien plus faible : 75 % à moins de deux écarts types au lieu d'environ 95 %. Utilisez la règle lorsque les données semblent normales, et Bienaymé-Tchebychev lorsque vous ne savez rien de leur forme.
- La règle empirique fonctionne-t-elle pour des données non normales ?
- Seulement de façon approximative, et pas pour des données asymétriques ou à queues lourdes. Dans une distribution asymétrique, les deux queues sont inégales et les répartitions symétriques de la règle échouent ; des queues lourdes placent plus de 0,3 % des valeurs au-delà de trois écarts types. Vérifiez d'abord la forme, ou appuyez-vous sur la garantie de Bienaymé-Tchebychev.
- Pourquoi 99,7 % et non 100 % ?
- La courbe normale ne touche jamais zéro : une part des valeurs se trouve toujours au-delà de trois écarts types, soit environ 0,27 % au total, ou 0,13 % dans chaque queue. C'est pourquoi la règle des trois sigma considère qu'un point au-delà de trois écarts types est inhabituel, même si, dans un grand jeu de données, quelques-uns sont attendus.