Ampirik Kural Hesaplayıcı
Bir ortalama ve standart sapma girin — ya da verilerinizi yapıştırın — ve değerlerin yaklaşık %68, %95 ve %99,7'sini kapsayan aralıkları alın; bunlar gölgeli bir çan eğrisi üzerinde çizilir ve tam normal paylar ile Chebyshev'in garanti ettiği asgari oranlarla yan yana konur. Verileri yapıştırırsanız, gerçekte kaç değerin aralığın içinde kaldığını da sayar. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
Her aralığın içinde beklenen sayıyı verir.
Ortalama ± k SD için bir satır ekler; tam normal pay ve Chebyshev sınırıyla birlikte.
68–95–99,7 aralıklarını görmek için yukarıya sıfırdan büyük bir ortalama ve standart sapma girin — ya da bir veri listesine geçin.
Ampirik Kural Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Başlangıç noktanızı seçin. Bir ortalama ve standart sapma girin ya da “Bir veri listesi” seçeneğine geçip sayılarınızı yapıştırın — hesaplayıcı ortalamayı ve örneklem standart sapmasını sizin için bulur.
- 2. İsteğe bağlı ek bilgileri ekleyin. Değer sayısı, her aralığın içinde beklenen sayıyı verir; kendi SD sayınız ise 2,5 gibi istediğiniz bir uzaklık için bir satır ekler.
- 3. Aralıkları okuyun. Üç kart, yaklaşık %68, %95 ve %99,7 değeri kapsayan aralıkları verir; gölgeli eğri bunların iç içe olduğunu gösterir.
- 4. Karşılaştırın. Tablo, kuralı tam normal paylar ve her dağılım için geçerli olan Chebyshev asgari değeriyle yan yana koyar. Yapıştırılmış verilerle, her aralığa gerçekte kaç değerin düştüğünü de gösterir.
68–95–99,7 Kuralı
Normal dağılım gösteren veriler için değerlerin yaklaşık %68'i ortalamanın bir standart sapma içinde, yaklaşık %95'i iki içinde ve yaklaşık %99,7'si üç içinde yer alır. Ortalama μ ve standart sapma σ ile aralıklar μ ± σ, μ ± 2σ ve μ ± 3σ'dır. Üç sigma kuralı olarak da bilinir.
| Aralık | Kural ne diyor | Tam normal pay | Her kuyruk |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | %68 | %68,27 | %15,87 |
| μ ± 2σ | %95 | %95,45 | %2,28 |
| μ ± 3σ | %99,7 | %99,73 | %0,13 |
Tam paylar 2Φ(k) − 1'dir; burada Φ, standart normal kümülatif dağılım fonksiyonudur. “Her kuyruk”, geriye kalanın yarısıdır.
Kural yuvarlanmış bir özettir; bu yüzden kesinlik gerektiğinde tam değerleri kullanın — z değeri 2 olan bir noktanın üzerinde kalan pay %2,28'dir, kuralın öngördüğü %2,5 değil. Eğri simetrik olduğundan kural ikiye de bölünür: değerlerin yaklaşık %34'ü ortalama ile ortalamanın bir standart sapma üstü arasında, yaklaşık %47,5'i ortalama ile iki standart sapma üstü arasında ve yaklaşık %49,85'i ortalama ile üç standart sapma üstü arasında yer alır.
Veriler normal değilse: Chebyshev eşitsizliği
Ampirik kural çan biçimli, kabaca simetrik bir dağılım gerektirir. Chebyshev eşitsizliği ise yalnızca sonlu bir varyans gerektirir: herhangi bir dağılımda değerlerin en az 1 − 1 ÷ k² kadarı ortalamadan k standart sapma içinde yer alır. Bu, yalnızca bir standart sapmanın ötesinde bilgilendiricidir; en az %75'in 2σ içinde ve en az %88,89'un 3σ içinde olduğunu garanti eder. Genelliğin bedeli, bunun bir tahmin değil bir alt sınır olmasıdır; normal veriler için gerçek paylar (%95,45 ve %99,73) çok daha yüksektir.
Çalışılmış Örnekler
“Örnek dene”ye tıklayın: ortalaması 72 ve standart sapması 8 olan, 1.000 öğrencinin sınav notları. Notların yaklaşık %68'i 72 − 8 = 64 ile 72 + 8 = 80 arasında yer alır; yaklaşık %95'i 56 ile 88 arasında; yaklaşık %99,7'si 48 ile 96 arasında. Tam normal paylara göre, 1.000 notun bu aralıklarda sırasıyla 682,7, 954,5 ve 997,3 tanesinin bulunmasını beklersiniz. İsteğe bağlı k = 2,5 ile aralık 52 ile 92 olur; bu, normal dağılımın %98,76'sını ve herhangi bir dağılımın en az %84'ünü kapsar.
Şimdi “Veri örneği dene”yi deneyin: 52 ile 95 arasında 25 not. Ortalamaları 72,08, örneklem standart sapması 9,183'tür; bu yüzden bir SD'lik aralık 62,897 ile 81,263 olur. 25 notun 19'u (%76) bu aralığın içinde kalır, 23'ü (%92) iki standart sapma içinde kalır ve 25'inin tamamı üç standart sapma içinde kalır. Bu, bir SD'de %68'in biraz üstü, iki SD'de %95'in biraz altıdır — böyle küçük bir örneklemin şansla üretebileceği türden bir fark; dolayısıyla normallikten gerçek bir sapma belirtisi yoktur.
Kuralın geçerli olup olmadığını denetlemek
Önce histograma bakın: tek tepeli, kabaca simetrik ve uzun kuyruğu olmayan bir yapı olmalıdır. Sonra verinizdeki payları yukarıdaki tabloyla karşılaştırın. Bir standart sapma içinde aşırı fazla değer ile üç standart sapmanın ötesinde çok fazla değer ağır kuyruklara işaret eder; dengesiz bir örüntü ise çarpıklığa işaret eder. Resmi bir denetim için Shapiro-Wilk hesaplayıcısını kullanın ya da çarpıklık ve basıklığa bakın.
Sık sorulan sorular
- İstatistikte ampirik kural nedir?
- Normal dağılımda değerlerin yaklaşık %68'inin ortalamanın bir standart sapma içinde, yaklaşık %95'inin iki içinde ve yaklaşık %99,7'sinin üç içinde yer aldığını söyler. Z tablosuna gerek kalmadan bir değerin ne kadar alışılmadık olduğunu hızla değerlendirmenin bir yoludur; 68–95–99,7 kuralı ya da üç sigma kuralı olarak da anılır.
- Ampirik kural nasıl kullanılır?
- Ortalamayı ve standart sapmayı bulun, ardından ortalamaya bir, iki ve üç standart sapma ekleyip çıkarın. Ortalama 72 ve SD 8 ise, değerlerin yaklaşık %68'i 64 ile 80 arasında, yaklaşık %95'i 56 ile 88 arasında yer alır. İki değer arasındaki yüzdeyi bulmak için onları ortalamadan SD cinsinden uzaklıklara çevirin ve karşılık gelen parçaları toplayın.
- Ortalama ile bir standart sapma arasında yüzde kaç bulunur?
- Yaklaşık %34; normal eğri simetrik olduğundan, bu bir standart sapma içindeki %68'in yarısıdır. Tam değer %34,13'tür. Ortalamanın bir ile iki standart sapma üstü arasında yaklaşık %13,5 (tam olarak %13,59), iki ile üç arasında ise yaklaşık %2,14 bulunur.
- Ampirik kural ile Chebyshev teoremi arasındaki fark nedir?
- Ampirik kural yalnızca çan biçimli, simetrik veriler için yaklaşık yüzdeler verir. Chebyshev teoremi ise herhangi bir dağılım için garanti edilen bir asgari değer verir: 1 − 1 ÷ k². Bu çok daha düşüktür: iki standart sapma içinde yaklaşık %95 yerine %75. Veriler normal görünüyorsa kuralı, şekli bilinmiyorsa Chebyshev'i kullanın.
- Ampirik kural normal olmayan veriler için de işe yarar mı?
- Yalnızca kabaca ve yalnızca bir ölçüde. Çarpık ya da ağır kuyruklu verilerde yaramaz: çarpık bir dağılımda iki kuyruk eşit değildir, bu yüzden kuralın simetrik bölünmeleri tutmaz; ağır kuyruklar ise üç standart sapmanın ötesinde %0,3'ten fazla değer koyar. Önce şekli denetleyin ya da Chebyshev'in garantisine dayanın.
- Neden %100 değil de %99,7?
- Normal eğri sıfıra hiç dokunmaz; bu yüzden bazı değerler her zaman üç standart sapmanın ötesinde kalır — toplamda yaklaşık %0,27, her kuyrukta %0,13. Üç sigma kuralı, üç SD'nin ötesindeki bir noktayı alışılmadık sayar; ama büyük bir veri kümesinde birkaç tanesi beklenir.