حاسبة القاعدة التجريبية
أدخل المتوسط والانحراف المعياري — أو الصق بياناتك — لتحصل على الفترات التي تحتوي نحو 68% و95% و99.7% من القيم، مرسومةً على منحنى جرس مظلَّل، ومعروضةً إلى جانب النسب الدقيقة للتوزيع الطبيعي والحدود الدنيا المضمونة من متباينة تشيبيشيف. وإذا لصقت بياناتك، تعدّ الحاسبة أيضًا كم قيمة تقع فعلًا داخل كل فترة. مجاني ودون تسجيل.
يعطي العدد المتوقع داخل كل فترة.
يضيف صفًا للمتوسط ± k انحراف معياري، مع النسبة الطبيعية الدقيقة وحد تشيبيشيف.
أدخل متوسطًا وانحرافًا معياريًا أكبر من صفر — أو انتقل إلى قائمة البيانات — لترى فترات 68–95–99.7.
كيفية استخدام حاسبة القاعدة التجريبية
- 1. اختر نقطة البداية. أدخل متوسطًا وانحرافًا معياريًا، أو انتقل إلى «قائمة بيانات» والصق أرقامك، فتجد الحاسبة المتوسط والانحراف المعياري للعينة نيابةً عنك.
- 2. أضف الخيارات الاختيارية. عدد القيم يعطي العدد المتوقع داخل كل فترة، وعدد الانحرافات المعيارية الخاص بك يضيف صفًا لأي مسافة تريدها، مثل 2.5.
- 3. اقرأ الفترات. تعطي البطاقات الثلاث النطاقات التي تحتوي نحو 68% و95% و99.7% من القيم، ويُظهر المنحنى المظلَّل تداخلها.
- 4. قارن. يضع الجدول القاعدة إلى جانب النسب الدقيقة للتوزيع الطبيعي وحد تشيبيشيف الأدنى، وهو حد صالح لأي توزيع. وعند لصق البيانات، يعرض أيضًا كم قيمة من بياناتك تقع فعلًا داخل كل فترة.
قاعدة 68–95–99.7
بالنسبة إلى البيانات التي تتبع التوزيع الطبيعي، تقع نحو 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، ونحو 95% ضمن انحرافين، ونحو 99.7% ضمن ثلاثة. وبالرموز، مع متوسط μ وانحراف معياري σ، تكون الفترات μ ± σ وμ ± 2σ وμ ± 3σ. وتُسمّى أيضًا قاعدة الانحراف المعياري الثلاثي.
| الفترة | تقول القاعدة | النسبة الدقيقة للتوزيع الطبيعي | كل ذيل |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68% | 68.27% | 15.87% |
| μ ± 2σ | 95% | 95.45% | 2.28% |
| μ ± 3σ | 99.7% | 99.73% | 0.13% |
النسب الدقيقة هي 2Φ(k) − 1، حيث Φ دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري. و«كل ذيل» هو نصف ما يتبقى.
القاعدة ملخص مقرَّب، لذا استخدم الأرقام الدقيقة حين تهم الدقة؛ فدرجة z تساوي 2 تترك 2.28% فوقها، لا 2.5% كما توحي القاعدة. ولأن المنحنى متماثل، تنقسم القاعدة إلى نصفين أيضًا: نحو 34% من القيم تقع بين المتوسط وانحراف معياري واحد فوقه، ونحو 47.5% بين المتوسط وانحرافين، ونحو 49.85% بين المتوسط وثلاثة.
حين لا تكون البيانات طبيعية: متباينة تشيبيشيف
تحتاج القاعدة التجريبية إلى توزيع على شكل جرس، متماثل تقريبًا. أما متباينة تشيبيشيف فلا تحتاج إلى شيء سوى تباين محدود: فعلى الأقل 1 − 1 ÷ k² من القيم تقع ضمن k انحراف معياري من المتوسط، لأي توزيع. وهي مفيدة فقط فوق انحراف معياري واحد، إذ تضمن على الأقل 75% ضمن 2σ وعلى الأقل 88.89% ضمن 3σ. وثمن العمومية أنها حدٌّ أدنى لا تقدير؛ ففي البيانات الطبيعية تكون النسب الحقيقية (95.45% و99.73%) أعلى بكثير.
أمثلة تطبيقية
اضغط «جرّب مثالًا»: درجات امتحان متوسطها 72 وانحرافها المعياري 8، من 1,000 طالب. نحو 68% من الدرجات تقع بين 72 − 8 = 64 و72 + 8 = 80، ونحو 95% بين 56 و88، ونحو 99.7% بين 48 و96. وبحسب النسب الدقيقة للتوزيع الطبيعي، نتوقع أن تقع 682.7 و954.5 و997.3 من أصل 1,000 داخل هذه الفترات على التوالي. ومع k الاختيارية 2.5، تكون الفترة من 52 إلى 92، وهي تحتوي 98.76% من التوزيع الطبيعي، وعلى الأقل 84% من أي توزيع.
والآن «جرّب مثال بيانات»: 25 درجة تتراوح بين 52 و95. متوسطها 72.08 وانحرافها المعياري للعينة 9.183، فتكون فترة الانحراف الواحد من 62.897 إلى 81.263. ويقع 19 من الدرجات الـ 25 (76%) داخلها، و23 منها (92%) ضمن انحرافين معياريين، وتقع الدرجات الـ 25 كلها ضمن ثلاثة. وهذا أعلى قليلًا من 68% عند انحراف واحد، وأدنى قليلًا من 95% عند انحرافين؛ وهي فجوة يُنتجها حجم عينة صغير كهذا بالصدفة، فلا دليل على انحراف حقيقي عن التوزيع الطبيعي.
التحقق من انطباق القاعدة
انظر أولًا إلى المدرج التكراري: قمة واحدة، ومتماثل تقريبًا، بلا ذيل طويل. ثم قارن النسب في بياناتك بالجدول كما سبق. فزيادة كبيرة داخل انحراف واحد مع كثرة القيم بعد الثلاثة تدل على ذيول ثقيلة، والنمط المائل يدل على الالتواء. وللاختبار الرسمي، استخدم حاسبة شابيرو-ويلك للتوزيع الطبيعي أو انظر إلى الالتواء والتفرطح.
الأسئلة الشائعة
- ما هي القاعدة التجريبية في الإحصاء؟
- تقول إنه في التوزيع الطبيعي تقع نحو 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، ونحو 95% ضمن انحرافين، ونحو 99.7% ضمن ثلاثة. وهي طريقة سريعة لتقدير مدى ندرة القيمة دون جدول z، وتُسمّى أيضًا قاعدة 68–95–99.7 أو قاعدة الانحراف المعياري الثلاثي.
- كيف أستخدم القاعدة التجريبية؟
- احسب المتوسط والانحراف المعياري، ثم أضف الانحراف المعياري وأطرحه مرة واثنتين وثلاثًا من المتوسط. فإذا كان المتوسط 72 والانحراف المعياري 8، فإن نحو 68% من القيم تقع بين 64 و80، ونحو 95% بين 56 و88. ولإيجاد النسبة المئوية بين قيمتين، حوّلهما إلى مسافات من المتوسط بوحدات الانحراف المعياري، ثم اجمع الأجزاء المناسبة.
- ما النسبة الواقعة بين المتوسط وانحراف معياري واحد؟
- نحو 34%، وهي نصف الـ 68% الواقعة ضمن انحراف معياري واحد، لأن المنحنى الطبيعي متماثل. والرقم الدقيق 34.13%. وبين انحراف معياري واحد وانحرافين فوق المتوسط تقع نحو 13.5% (13.59% تحديدًا)، وبين الانحرافين والثلاثة نحو 2.14%.
- ما الفرق بين القاعدة التجريبية ومتباينة تشيبيشيف؟
- تعطي القاعدة التجريبية نسبًا تقريبية، لكن للبيانات ذات الشكل الجرسي المتماثل فقط. أما متباينة تشيبيشيف فتعطي حدًّا أدنى مضمونًا لأي توزيع، هو 1 − 1 ÷ k²، وهو أدنى بكثير: 75% ضمن انحرافين معياريين بدلًا من نحو 95%. استخدم القاعدة حين تبدو البيانات طبيعية، ومتباينة تشيبيشيف حين لا تعرف شيئًا عن الشكل.
- هل تعمل القاعدة التجريبية مع البيانات غير الطبيعية؟
- بشكل تقريبي فقط، ولا تصلح للبيانات المائلة أو ذات الذيول الثقيلة. ففي التوزيع المائل تكون الذيول غير متساوية، فتفشل تقسيمات القاعدة المتماثلة، والذيول الثقيلة تضع أكثر من 0.3% من القيم بعد ثلاثة انحرافات معيارية. تحقّق من الشكل أولًا، أو اعتمد على ضمان تشيبيشيف.
- لماذا تكون النسبة 99.7% لا 100%؟
- المنحنى الطبيعي لا يلامس الصفر أبدًا، لذا تقع دائمًا بعض القيم بعد ثلاثة انحرافات معيارية، أي نحو 0.27% في المجموع، أو 0.13% في كل ذيل. ولهذا تعدّ قاعدة الانحراف الثلاثي القيمة التي تتجاوز ثلاثة انحرافات غير معتادة، مع أن بعضها متوقع في مجموعة بيانات كبيرة.