Empirische-Regel-Rechner

So verwenden Sie den Empirische-Regel-Rechner

1. 1. Wählen Sie Ihren Ausgangspunkt. Geben Sie einen Mittelwert und eine Standardabweichung ein oder wechseln Sie zu „Eine Datenliste“ und fügen Sie Ihre Zahlen ein – der Rechner ermittelt dann Mittelwert und Stichproben-Standardabweichung für Sie.
2. 2. Ergänzen Sie die optionalen Angaben. Eine Anzahl von Werten ergibt die erwartete Anzahl innerhalb jedes Intervalls; eine eigene Anzahl von SD fügt eine Zeile für einen beliebigen Abstand hinzu, etwa 2,5.
3. 3. Lesen Sie die Intervalle. Die drei Karten zeigen die Bereiche, in denen etwa 68 %, 95 % und 99,7 % der Werte liegen; die schattierte Kurve zeigt sie ineinander geschachtelt.
4. 4. Vergleichen Sie. Die Tabelle stellt die Regel neben die exakten Normalanteile und das Tschebyscheff-Minimum, das für jede Verteilung gilt. Bei eingefügten Daten zeigt sie außerdem, wie viele Ihrer Werte tatsächlich in jedes Intervall fallen.

Die 68–95–99,7-Regel

Bei Daten, die einer Normalverteilung folgen, liegen etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, etwa 95 % innerhalb von zwei und etwa 99,7 % innerhalb von drei. In Formeln, mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ, lauten die Intervalle μ ± σ, μ ± 2σ und μ ± 3σ. Man nennt sie auch die Drei-Sigma-Regel.

Die Regel ist eine gerundete Zusammenfassung; verwenden Sie bei Bedarf die exakten Werte – ein z von 2 lässt 2,28 % darüber, nicht die 2,5 %, die die Regel nahelegt. Da die Kurve symmetrisch ist, teilt sich die Regel auch in zwei Hälften: etwa 34 % der Werte liegen zwischen dem Mittelwert und einer Standardabweichung darüber, etwa 47,5 % zwischen dem Mittelwert und zwei, und etwa 49,85 % zwischen dem Mittelwert und drei.

Wenn die Daten nicht normal sind: Tschebyscheff-Ungleichung

Die empirische Regel setzt eine glockenförmige, annähernd symmetrische Verteilung voraus. Die Tschebyscheff-Ungleichung braucht nur eine endliche Varianz: Mindestens 1 − 1 ÷ k² der Werte liegen innerhalb von k Standardabweichungen vom Mittelwert, und zwar für jede Verteilung. Sie ist erst jenseits einer Standardabweichung aussagekräftig – sie garantiert mindestens 75 % innerhalb von 2σ und mindestens 88,89 % innerhalb von 3σ. Der Preis der Allgemeinheit ist, dass sie eine Untergrenze und keine Schätzung ist; bei normalen Daten liegen die tatsächlichen Anteile (95,45 % und 99,73 %) deutlich höher.

Beispiele

Klicken Sie auf „Beispiel ausprobieren“: Prüfungsergebnisse mit einem Mittelwert von 72 und einer Standardabweichung von 8, von 1.000 Studierenden. Etwa 68 % der Ergebnisse liegen zwischen 72 − 8 = 64 und 72 + 8 = 80; etwa 95 % zwischen 56 und 88; und etwa 99,7 % zwischen 48 und 96. Nach den exakten Normalanteilen erwarten Sie 682,7, 954,5 bzw. 997,3 der 1.000 innerhalb dieser Intervalle. Mit dem optionalen k von 2,5 reicht das Intervall von 52 bis 92; es enthält 98,76 % einer Normalverteilung und mindestens 84 % jeder Verteilung.

Nun „Beispieldaten ausprobieren“: 25 Ergebnisse von 52 bis 95. Ihr Mittelwert ist 72,08 und ihre Stichproben-Standardabweichung 9,183, sodass das Intervall für eine Standardabweichung von 62,897 bis 81,263 reicht. Von den 25 Ergebnissen liegen 19 (76 %) darin, 23 (92 %) innerhalb von zwei Standardabweichungen und alle 25 innerhalb von drei. Das liegt bei einer Standardabweichung etwas über 68 % und bei zwei etwas unter 95 % – eine Lücke, wie sie eine so kleine Stichprobe zufällig erzeugt; es gibt also keinen Hinweis auf eine echte Abweichung von der Normalverteilung.

Prüfen, ob die Regel passt

Sehen Sie sich zuerst das Histogramm an: ein einzelner Buckel, annähernd symmetrisch, kein langer Ausläufer. Vergleichen Sie dann die Anteile in Ihren eigenen Daten mit der Tabelle, wie oben. Ein großer Überschuss innerhalb einer Standardabweichung bei gleichzeitig zu vielen Werten jenseits von drei deutet auf schwere Ränder hin; ein schiefes Muster deutet auf Schiefe. Für einen formalen Test verwenden Sie den Shapiro-Wilk Normality Test Calculator oder sehen Sie sich den Skewness and Kurtosis Calculator an.

Häufig gestellte Fragen

Was besagt die empirische Regel in der Statistik?

Sie besagt, dass bei einer Normalverteilung etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert liegen, etwa 95 % innerhalb von zwei und etwa 99,7 % innerhalb von drei. Sie ist eine schnelle Möglichkeit, die Ungewöhnlichkeit eines Werts ohne Z-Tabelle einzuschätzen; man nennt sie auch die 68-95-99,7-Regel oder Drei-Sigma-Regel.

Wie wendet man die empirische Regel an?

Bestimmen Sie Mittelwert und Standardabweichung und addieren bzw. subtrahieren Sie dann ein, zwei und drei Standardabweichungen vom Mittelwert. Bei einem Mittelwert von 72 und einer Standardabweichung von 8 liegen etwa 68 % der Werte zwischen 64 und 80 und etwa 95 % zwischen 56 und 88. Um einen Prozentwert zwischen zwei Werten zu finden, rechnen Sie beide in Abstände vom Mittelwert in Standardabweichungen um und addieren die passenden Teile.

Welcher Prozentsatz liegt zwischen dem Mittelwert und einer Standardabweichung?

Etwa 34 %, die Hälfte der 68 % innerhalb einer Standardabweichung, da die Normalkurve symmetrisch ist. Der exakte Wert ist 34,13 %. Zwischen einer und zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert liegen etwa 13,5 % (exakt 13,59 %), zwischen zwei und drei etwa 2,14 %.

Was ist der Unterschied zwischen der empirischen Regel und dem Satz von Tschebyscheff?

Die empirische Regel liefert Näherungswerte, allerdings nur für glockenförmige, symmetrische Daten. Der Satz von Tschebyscheff liefert ein garantiertes Minimum für jede Verteilung, 1 − 1 ÷ k², und dieses ist deutlich niedriger: 75 % innerhalb von zwei Standardabweichungen statt etwa 95 %. Verwenden Sie die Regel, wenn die Daten normal aussehen, und Tschebyscheff, wenn Sie nichts über die Form wissen.

Funktioniert die empirische Regel für nicht normale Daten?

Nur grob, und nicht bei schiefen oder schwer geschwänzten Daten. Bei einer schiefen Verteilung sind die beiden Ränder ungleich, sodass die symmetrischen Aufteilungen der Regel nicht passen, und schwere Ränder legen mehr als 0,3 % der Werte jenseits von drei Standardabweichungen. Prüfen Sie zuerst die Form oder greifen Sie auf die Garantie nach Tschebyscheff zurück.

Warum sind es 99,7 % und nicht 100 %?

Die Normalkurve berührt die Null nie, daher liegen immer einige Werte jenseits von drei Standardabweichungen – insgesamt etwa 0,27 %, je Rand 0,13 %. Deshalb gilt in der Drei-Sigma-Regel ein Punkt jenseits von drei Standardabweichungen als ungewöhnlich, auch wenn bei einem großen Datensatz einige zu erwarten sind.