Công Cụ Tính Quy Tắc Thực Nghiệm
Nhập trung bình và độ lệch chuẩn — hoặc dán dữ liệu của bạn — để nhận các khoảng chứa khoảng 68%, 95% và 99,7% giá trị, được vẽ trên đường cong chuông tô bóng và đặt cạnh tỷ lệ phân phối chuẩn chính xác cùng các cận tối thiểu đảm bảo của Chebyshev. Khi dán dữ liệu, công cụ còn đếm số giá trị thực sự nằm trong mỗi khoảng. Miễn phí, không cần đăng ký.
Cho biết số kỳ vọng nằm trong mỗi khoảng.
Thêm một dòng cho trung bình ± k SD, với tỷ lệ phân phối chuẩn chính xác và cận Chebyshev.
Nhập trung bình và độ lệch chuẩn lớn hơn 0 — hoặc chuyển sang danh sách dữ liệu — để xem các khoảng 68–95–99,7.
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Quy Tắc Thực Nghiệm
- 1. Chọn điểm bắt đầu. Nhập trung bình và độ lệch chuẩn, hoặc chuyển sang “Danh sách dữ liệu” và dán các số của bạn — công cụ sẽ tự tìm trung bình và độ lệch chuẩn mẫu.
- 2. Thêm các tùy chọn. Số lượng giá trị cho biết số kỳ vọng nằm trong mỗi khoảng; số SD tùy chỉnh thêm một dòng cho bất kỳ khoảng cách nào bạn muốn, chẳng hạn 2,5.
- 3. Đọc các khoảng. Ba thẻ cho biết các khoảng chứa khoảng 68%, 95% và 99,7% giá trị, còn đường cong tô bóng cho thấy chúng lồng nhau.
- 4. So sánh. Bảng đặt quy tắc cạnh tỷ lệ phân phối chuẩn chính xác và cận tối thiểu Chebyshev, áp dụng cho mọi phân phối. Với dữ liệu đã dán, bảng còn cho biết có bao nhiêu giá trị của bạn thực sự nằm trong mỗi khoảng.
Quy Tắc 68–95–99,7
Với dữ liệu tuân theo phân phối chuẩn, khoảng 68% giá trị nằm trong một độ lệch chuẩn so với trung bình, khoảng 95% trong hai, và khoảng 99,7% trong ba. Bằng ký hiệu, với trung bình μ và độ lệch chuẩn σ, các khoảng là μ ± σ, μ ± 2σ và μ ± 3σ. Quy tắc này còn được gọi là quy tắc ba sigma.
| Khoảng | Quy tắc nói | Tỷ lệ chuẩn chính xác | Mỗi đuôi |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68% | 68,27% | 15,87% |
| μ ± 2σ | 95% | 95,45% | 2,28% |
| μ ± 3σ | 99,7% | 99,73% | 0,13% |
Các tỷ lệ chính xác là 2Φ(k) − 1, với Φ là hàm phân phối tích lũy chuẩn tắc. “Mỗi đuôi” là một nửa phần còn lại.
Quy tắc là một tóm tắt đã làm tròn, nên hãy dùng các số chính xác khi độ chính xác quan trọng — z bằng 2 để lại 2,28% phía trên, chứ không phải 2,5% mà quy tắc ngụ ý. Vì đường cong đối xứng, quy tắc cũng được chia đôi: khoảng 34% giá trị nằm giữa trung bình và một độ lệch chuẩn phía trên, khoảng 47,5% giữa trung bình và hai, và khoảng 49,85% giữa trung bình và ba.
Khi Dữ Liệu Không Chuẩn: Bất Đẳng Thức Chebyshev
Quy tắc thực nghiệm cần một phân phối hình chuông, gần đối xứng. Bất đẳng thức Chebyshev chỉ cần phương sai hữu hạn: ít nhất 1 − 1 ÷ k² giá trị nằm trong k độ lệch chuẩn so với trung bình, với mọi phân phối. Nó chỉ có ý nghĩa khi vượt quá một độ lệch chuẩn — nó đảm bảo ít nhất 75% trong 2σ và ít nhất 88,89% trong 3σ. Cái giá của tính tổng quát là nó là một cận dưới chứ không phải một ước lượng; với dữ liệu chuẩn, các tỷ lệ thực (95,45% và 99,73%) cao hơn nhiều.
Ví Dụ Minh Họa
Nhấn “Thử một ví dụ”: điểm thi của 1.000 sinh viên với trung bình 72 và độ lệch chuẩn 8. Khoảng 68% điểm nằm giữa 72 − 8 = 64 và 72 + 8 = 80; khoảng 95% giữa 56 và 88; và khoảng 99,7% giữa 48 và 96. Theo tỷ lệ phân phối chuẩn chính xác, bạn kỳ vọng 682,7, 954,5 và 997,3 trong số 1.000 điểm nằm trong các khoảng đó. Với k tùy chọn là 2,5, khoảng là 52 đến 92, chứa 98,76% phân phối chuẩn và ít nhất 84% của mọi phân phối.
Bây giờ hãy thử “Thử một ví dụ dữ liệu”, 25 điểm từ 52 đến 95. Trung bình của chúng là 72,08 và độ lệch chuẩn mẫu là 9,183, nên khoảng một SD là 62,897 đến 81,263. Trong 25 điểm, 19 (76%) nằm trong khoảng, 23 (92%) nằm trong hai độ lệch chuẩn và cả 25 nằm trong ba. Điều đó cao hơn một chút so với 68% ở một SD và thấp hơn một chút so với 95% ở hai — kiểu chênh lệch mà một mẫu nhỏ như vậy tạo ra do ngẫu nhiên, nên không có dấu hiệu lệch thực sự khỏi phân phối chuẩn.
Kiểm Tra Xem Quy Tắc Có Áp Dụng Không
Trước hết hãy xem biểu đồ tần suất: một đỉnh duy nhất, gần đối xứng, không có đuôi dài. Sau đó so sánh tỷ lệ trong dữ liệu của bạn với bảng, như trên. Quá nhiều giá trị vượt trội bên trong một SD cùng với quá nhiều giá trị ngoài ba SD cho thấy đuôi nặng; một kiểu lệch về một phía cho thấy độ lệch. Để kiểm tra chính thức, hãy dùng công cụ Shapiro-Wilk hoặc xem độ lệch và độ nhọn.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Quy tắc thực nghiệm trong thống kê là gì?
- Quy tắc này nói rằng trong phân phối chuẩn, khoảng 68% giá trị nằm trong một độ lệch chuẩn so với trung bình, khoảng 95% trong hai và khoảng 99,7% trong ba. Đây là cách nhanh để đánh giá một giá trị bất thường đến mức nào mà không cần bảng z, và nó còn được gọi là quy tắc 68–95–99,7 hoặc quy tắc ba sigma.
- Làm thế nào để dùng quy tắc thực nghiệm?
- Tìm trung bình và độ lệch chuẩn, rồi cộng và trừ một, hai và ba độ lệch chuẩn vào trung bình. Với trung bình 72 và SD 8, khoảng 68% giá trị nằm giữa 64 và 80 và khoảng 95% giữa 56 và 88. Để tìm tỷ lệ phần trăm giữa hai giá trị, hãy đổi chúng thành khoảng cách so với trung bình tính bằng SD rồi cộng các phần tương ứng.
- Bao nhiêu phần trăm nằm giữa trung bình và một độ lệch chuẩn?
- Khoảng 34%, bằng một nửa của 68% trong một độ lệch chuẩn, vì đường cong chuẩn đối xứng. Con số chính xác là 34,13%. Giữa một và hai độ lệch chuẩn phía trên trung bình là khoảng 13,5% (chính xác là 13,59%), và giữa hai và ba là khoảng 2,14%.
- Khác nhau giữa quy tắc thực nghiệm và định lý Chebyshev là gì?
- Quy tắc thực nghiệm cho tỷ lệ gần đúng nhưng chỉ với dữ liệu hình chuông, đối xứng. Định lý Chebyshev cho một cận tối thiểu được đảm bảo với mọi phân phối, 1 − 1 ÷ k², thấp hơn nhiều: 75% trong hai độ lệch chuẩn thay vì khoảng 95%. Hãy dùng quy tắc khi dữ liệu trông chuẩn và Chebyshev khi bạn không biết gì về hình dạng.
- Quy tắc thực nghiệm có áp dụng cho dữ liệu không chuẩn không?
- Chỉ gần đúng, và không áp dụng cho dữ liệu lệch hoặc đuôi nặng. Trong phân phối lệch, hai đuôi không bằng nhau nên các phép chia đối xứng của quy tắc thất bại, còn đuôi nặng làm hơn 0,3% giá trị nằm ngoài ba độ lệch chuẩn. Hãy kiểm tra hình dạng trước, hoặc dùng đảm bảo của Chebyshev.
- Vì sao là 99,7% mà không phải 100%?
- Đường cong chuẩn không bao giờ chạm 0, nên luôn có một số giá trị nằm ngoài ba độ lệch chuẩn — khoảng 0,27% tổng cộng, hay 0,13% mỗi đuôi. Đó là lý do quy tắc ba sigma coi một điểm nằm ngoài ba SD là bất thường, dù trong một tập dữ liệu lớn vẫn kỳ vọng có vài điểm như vậy.