Calculadora da regra empírica
Insira uma média e um desvio padrão — ou cole seus dados — e obtenha os intervalos que contêm cerca de 68%, 95% e 99,7% dos valores, desenhados sobre uma curva normal sombreada e ao lado das proporções normais exatas e dos mínimos garantidos por Chebyshev. Se você colar dados, a calculadora também conta quantos valores realmente caem dentro de cada intervalo. Gratuito, sem cadastro.
Informa a contagem esperada dentro de cada intervalo.
Acrescenta uma linha para média ± k desvios padrão, com a proporção normal exata e o limite de Chebyshev.
Insira uma média e um desvio padrão acima de zero — ou mude para uma lista de dados — para ver os intervalos de 68–95–99,7.
Como usar a calculadora da regra empírica
- 1. Escolha seu ponto de partida. Insira uma média e um desvio padrão, ou mude para «Uma lista de dados» e cole seus números — a calculadora então encontra a média e o desvio padrão amostral para você.
- 2. Acrescente os extras opcionais. Um número de valores fornece a contagem esperada dentro de cada intervalo; seu próprio número de desvios padrão acrescenta uma linha para qualquer distância, como 2,5.
- 3. Leia os intervalos. Os três cartões mostram as faixas que contêm cerca de 68%, 95% e 99,7% dos valores, e a curva sombreada os mostra aninhados.
- 4. Compare. A tabela coloca a regra ao lado das proporções normais exatas e do mínimo de Chebyshev, que vale para qualquer distribuição. Com dados colados, ela também mostra quantos dos seus valores efetivamente caem em cada intervalo.
A regra 68–95–99,7
Para dados que seguem uma distribuição normal, cerca de 68% dos valores ficam a até um desvio padrão da média, cerca de 95% a até dois e cerca de 99,7% a até três. Em símbolos, com média μ e desvio padrão σ, os intervalos são μ ± σ, μ ± 2σ e μ ± 3σ. Ela também é chamada de regra dos três sigmas.
| Intervalo | A regra diz | Proporção normal exata | Cada cauda |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68% | 68,27% | 15,87% |
| μ ± 2σ | 95% | 95,45% | 2,28% |
| μ ± 3σ | 99,7% | 99,73% | 0,13% |
As proporções exatas são 2Φ(k) − 1, em que Φ é a função de distribuição acumulada da normal padrão. «Cada cauda» é a metade do que sobra.
A regra é um resumo arredondado, então use os valores exatos quando a precisão importar — um z igual a 2 deixa 2,28% acima dele, e não os 2,5% que a regra sugere. Como a curva é simétrica, a regra também se divide ao meio: cerca de 34% dos valores ficam entre a média e um desvio padrão acima dela, cerca de 47,5% entre a média e dois, e cerca de 49,85% entre a média e três.
Quando os dados não são normais: a desigualdade de Chebyshev
A regra empírica exige uma distribuição em forma de sino e aproximadamente simétrica. A desigualdade de Chebyshev exige apenas variância finita: pelo menos 1 − 1 ÷ k² dos valores ficam a até k desvios padrão da média, para qualquer distribuição. Ela só é informativa além de um desvio padrão — garante pelo menos 75% dentro de 2σ e pelo menos 88,89% dentro de 3σ. O preço da generalidade é que se trata de um piso, e não de uma estimativa; para dados normais, as proporções reais (95,45% e 99,73%) são bem maiores.
Exemplos práticos
Clique em «Experimentar um exemplo»: notas de prova com média 72 e desvio padrão 8, de 1.000 estudantes. Cerca de 68% das notas ficam entre 72 − 8 = 64 e 72 + 8 = 80; cerca de 95% entre 56 e 88; e cerca de 99,7% entre 48 e 96. Pelas proporções normais exatas, você esperaria 682,7, 954,5 e 997,3 dos 1.000 dentro desses intervalos. Com o k opcional de 2,5, o intervalo vai de 52 a 92, que contém 98,76% de uma distribuição normal e pelo menos 84% de qualquer distribuição.
Agora, «Experimentar um exemplo de dados»: 25 notas, de 52 a 95. A média delas é 72,08 e o desvio padrão amostral 9,183, então o intervalo de um desvio padrão vai de 62,897 a 81,263. Das 25 notas, 19 (76%) ficam dentro, 23 (92%) dentro de dois desvios padrão e todas as 25 dentro de três. Isso fica um pouco acima de 68% em um desvio padrão e um pouco abaixo de 95% em dois — o tipo de diferença que uma amostra tão pequena produz por acaso, de modo que não há sinal de um afastamento real da normalidade.
Como verificar se a regra se aplica
Olhe primeiro o histograma: uma única elevação, aproximadamente simétrica, sem cauda longa. Depois compare as proporções dos seus dados com a tabela, como acima. Um excesso grande dentro de um desvio padrão, com valores demais além de três, sinaliza caudas pesadas; um padrão desequilibrado sinaliza assimetria. Para um teste formal, use a calculadora do teste de Shapiro-Wilk ou veja a calculadora de assimetria e curtose.
Perguntas frequentes
- O que é a regra empírica em estatística?
- Ela diz que, em uma distribuição normal, cerca de 68% dos valores ficam a até um desvio padrão da média, cerca de 95% a até dois e cerca de 99,7% a até três. É uma forma rápida de avaliar quão incomum é um valor sem uma tabela z, e também é chamada de regra 68-95-99,7 ou regra dos três sigmas.
- Como usar a regra empírica?
- Encontre a média e o desvio padrão e some e subtraia um, dois e três desvios padrão à média. Para uma média de 72 e um desvio padrão de 8, cerca de 68% dos valores ficam entre 64 e 80, e cerca de 95% entre 56 e 88. Para achar a porcentagem entre dois valores, converta-os em distâncias da média em desvios padrão e some as partes correspondentes.
- Qual porcentagem fica entre a média e um desvio padrão?
- Cerca de 34%, metade dos 68% dentro de um desvio padrão, porque a curva normal é simétrica. O valor exato é 34,13%. Entre um e dois desvios padrão acima da média ficam cerca de 13,5% (13,59% exatos), e entre dois e três, cerca de 2,14%.
- Qual é a diferença entre a regra empírica e o teorema de Chebyshev?
- A regra empírica dá percentuais aproximados, mas só para dados em forma de sino e simétricos. O teorema de Chebyshev dá um mínimo garantido para qualquer distribuição, 1 − 1 ÷ k², que é bem mais baixo: 75% dentro de dois desvios padrão em vez de cerca de 95%. Use a regra quando os dados parecerem normais e Chebyshev quando você não souber nada sobre a forma.
- A regra empírica funciona para dados não normais?
- Apenas de forma aproximada, e não para dados assimétricos ou de caudas pesadas. Em uma distribuição assimétrica, as duas caudas são desiguais, então as divisões simétricas da regra falham, e caudas pesadas colocam mais de 0,3% dos valores além de três desvios padrão. Verifique primeiro a forma ou recorra à garantia de Chebyshev.
- Por que é 99,7% e não 100%?
- A curva normal nunca toca o zero, então sempre há valores além de três desvios padrão — cerca de 0,27% no total, ou 0,13% em cada cauda. É por isso que a regra dos três sigmas trata um ponto além de três desvios padrão como incomum, embora em um conjunto grande de dados alguns sejam esperados.