Калькулятор эмпирического правила

Как пользоваться калькулятором эмпирического правила

1. 1. Выберите исходную точку. Введите среднее и стандартное отклонение или переключитесь на «Список данных» и вставьте свои числа. Калькулятор сам найдёт среднее и выборочное стандартное отклонение.
2. 2. Добавьте необязательные параметры. Количество значений даёт ожидаемое число попаданий в каждый интервал. Собственное число СКО добавит строку для любого расстояния, например 2,5.
3. 3. Прочитайте интервалы. Три карточки показывают диапазоны, в которые попадает около 68%, 95% и 99,7% значений, а затенённая кривая показывает, что они вложены друг в друга.
4. 4. Сравните. Таблица ставит правило рядом с точными долями нормального распределения и минимумом Чебышёва, который справедлив для любого распределения. Для вставленных данных она также показывает, сколько ваших значений действительно попадает в каждый интервал.

Правило 68–95–99,7

Для данных, подчиняющихся нормальному распределению, около 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего, около 95% — в пределах двух, и около 99,7% — в пределах трёх. Символически, при среднем μ и стандартном отклонении σ интервалы имеют вид μ ± σ, μ ± 2σ и μ ± 3σ. Его также называют правилом трёх сигм.

Правило — округлённое приближение, поэтому при необходимости точности используйте точные значения: z, равное 2, оставляет над собой 2,28%, а не 2,5%, которые подразумевает правило. Поскольку кривая симметрична, правило также делится пополам: около 34% значений лежат между средним и одним стандартным отклонением выше него, около 47,5% — между средним и двумя, и около 49,85% — между средним и тремя.

Когда данные не нормальны: неравенство Чебышёва

Эмпирическому правилу нужно колоколообразное, примерно симметричное распределение. Неравенство Чебышёва требует только конечной дисперсии: как минимум 1 − 1 ÷ k² значений лежат в пределах k стандартных отклонений от среднего, для любого распределения. Оно информативно только за пределами одного стандартного отклонения: гарантирует как минимум 75% в пределах 2σ и как минимум 88,89% в пределах 3σ. Цена общности в том, что это нижняя граница, а не оценка; для нормальных данных истинные доли (95,45% и 99,73%) намного выше.

Примеры

Нажмите «Попробовать пример»: оценки на экзамене у 1000 студентов, со средним 72 и стандартным отклонением 8. Около 68% оценок лежат между 72 − 8 = 64 и 72 + 8 = 80; около 95% — между 56 и 88; и около 99,7% — между 48 и 96. По точным долям нормального распределения вы ожидаете, что из 1000 значений внутрь этих интервалов попадут 682,7, 954,5 и 997,3. С необязательным k = 2,5 интервал составляет от 52 до 92: в нём 98,76% нормального распределения и не менее 84% для любого распределения.

Теперь нажмите «Попробовать пример данных»: 25 оценок от 52 до 95. Их среднее 72,08, а выборочное стандартное отклонение 9,183, поэтому интервал в одно СКО — от 62,897 до 81,263. Из 25 оценок 19 (76%) попадают внутрь, 23 (92%) лежат в пределах двух стандартных отклонений, а все 25 — в пределах трёх. Это немного выше 68% на одном СКО и немного ниже 95% на двух. Такой разрыв при выборке такого малого размера возникает по чистой случайности, поэтому нет признаков реального отклонения от нормальности.

Проверка применимости правила

Сначала посмотрите на гистограмму: один горб, примерно симметричный, без длинного хвоста. Затем сравните доли в ваших данных с таблицей, как выше. Большой избыток внутри одного СКО при слишком большом количестве значений за пределами трёх сигм указывает на тяжёлые хвосты; асимметричная картина указывает на скос. Для формальной проверки используйте калькулятор Шапиро — Уилка или посмотрите асимметрию и эксцесс.

Часто задаваемые вопросы

Что такое эмпирическое правило в статистике?

Оно утверждает, что в нормальном распределении около 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего, около 95% — в пределах двух и около 99,7% — в пределах трёх. Это быстрый способ оценить, насколько необычно значение, без таблицы z-распределения. Его также называют правилом 68–95–99,7 или правилом трёх сигм.

Как пользоваться эмпирическим правилом?

Найдите среднее и стандартное отклонение, затем прибавьте и вычтите одно, два и три стандартных отклонения от среднего. Для среднего 72 и стандартного отклонения 8 около 68% значений лежат между 64 и 80, а около 95% — между 56 и 88. Чтобы найти процент между двумя значениями, переведите их в расстояния от среднего в стандартных отклонениях и сложите соответствующие части.

Какой процент лежит между средним и одним стандартным отклонением?

Около 34%: это половина от 68% в пределах одного стандартного отклонения, поскольку кривая нормального распределения симметрична. Точное значение — 34,13%. Между одним и двумя стандартными отклонениями выше среднего лежат около 13,5% (точно 13,59%), а между двумя и тремя — около 2,14%.

В чём разница между эмпирическим правилом и теоремой Чебышёва?

Эмпирическое правило даёт приблизительные проценты, но только для колоколообразных симметричных данных. Теорема Чебышёва даёт гарантированный минимум для любого распределения, 1 − 1 ÷ k², и он гораздо ниже: 75% в пределах двух стандартных отклонений вместо примерно 95%. Используйте правило, когда данные похожи на нормальные, а Чебышёва, когда о форме ничего не известно.

Работает ли эмпирическое правило для ненормальных данных?

Только приблизительно и не для скошенных данных или данных с тяжёлыми хвостами. В скошенном распределении два хвоста неравны, поэтому симметричные доли правила не работают, а тяжёлые хвосты дают более 0,3% значений за пределами трёх стандартных отклонений. Сначала проверьте форму или опирайтесь на гарантию Чебышёва.

Почему 99,7%, а не 100%?

Кривая нормального распределения никогда не касается нуля, поэтому некоторые значения всегда лежат за пределами трёх стандартных отклонений: примерно 0,27% в сумме, или 0,13% в каждом хвосте. Поэтому правило трёх сигм считает точку за пределами трёх стандартных отклонений необычной, хотя в большой выборке несколько таких точек ожидаемы.