Empirische-regelcalculator

Zo gebruik je de empirische-regelcalculator

1. 1. Kies je startpunt. Voer een gemiddelde en een standaarddeviatie in, of kies “Een lijst met gegevens” en plak je getallen — de calculator berekent dan het gemiddelde en de steekproef-standaarddeviatie voor je.
2. 2. Voeg de optionele extra's toe. Een aantal waarden geeft het verwachte aantal binnen elk interval; je eigen aantal SD's voegt een rij toe voor elke afstand die je wilt, zoals 2,5.
3. 3. Lees de intervallen. De drie kaarten geven de bereiken waarin ongeveer 68%, 95% en 99,7% van de waarden ligt, en de gearceerde curve toont ze genest.
4. 4. Vergelijk. De tabel zet de regel naast de exacte normale fracties en het minimum van Chebyshev, dat voor elke verdeling geldt. Met geplakte gegevens toont de tabel ook hoeveel van je waarden daadwerkelijk in elk interval vallen.

De 68–95–99,7-regel

Bij gegevens die een normale verdeling volgen, ligt ongeveer 68% van de waarden binnen één standaarddeviatie van het gemiddelde, ongeveer 95% binnen twee en ongeveer 99,7% binnen drie. In formules, met gemiddelde μ en standaarddeviatie σ, zijn de intervallen μ ± σ, μ ± 2σ en μ ± 3σ. Hij heet ook de driesigmaregel.

De regel is een afgeronde samenvatting, dus gebruik de exacte cijfers als precisie telt — een z van 2 laat 2,28% erboven liggen, niet de 2,5% die de regel impliceert. Omdat de curve symmetrisch is, splitst de regel zich ook in twee helften: ongeveer 34% van de waarden ligt tussen het gemiddelde en één standaarddeviatie erboven, ongeveer 47,5% tussen het gemiddelde en twee, en ongeveer 49,85% tussen het gemiddelde en drie.

Als de gegevens niet normaal zijn: de ongelijkheid van Chebyshev

De empirische regel vereist een klokvormige, ongeveer symmetrische verdeling. De ongelijkheid van Chebyshev heeft alleen een eindige variantie nodig: minstens 1 − 1 ÷ k² van de waarden ligt binnen k standaarddeviaties van het gemiddelde, voor elke verdeling. Dat is alleen zinvol boven één standaarddeviatie — het garandeert minstens 75% binnen 2σ en minstens 88,89% binnen 3σ. De prijs van die algemeenheid is dat het een ondergrens is, geen schatting; voor normale gegevens liggen de echte aandelen (95,45% en 99,73%) veel hoger.

Uitgewerkte voorbeelden

Klik op “Probeer een voorbeeld”: tentamencijfers met een gemiddelde van 72 en een standaarddeviatie van 8, van 1.000 studenten. Ongeveer 68% van de cijfers ligt tussen 72 − 8 = 64 en 72 + 8 = 80; ongeveer 95% tussen 56 en 88; en ongeveer 99,7% tussen 48 en 96. Volgens de exacte normale fracties verwacht je 682,7, 954,5 en 997,3 van de 1.000 binnen die intervallen. Met de optionele k van 2,5 is het interval 52 tot 92, dat 98,76% van een normale verdeling bevat en minstens 84% van elke verdeling.

Kies nu “Probeer een gegevensvoorbeeld”, 25 cijfers van 52 tot 95. Hun gemiddelde is 72,08 en hun steekproef-standaarddeviatie 9,183, dus het interval van één SD is 62,897 tot 81,263. Van de 25 cijfers liggen er 19 (76%) binnen het interval, 23 (92%) binnen twee standaarddeviaties en alle 25 binnen drie. Dat is iets boven 68% bij één SD en iets onder 95% bij twee — het soort verschil dat een steekproef van deze omvang toevallig oplevert, dus er is geen teken van een echte afwijking van normaliteit.

Controleren of de regel geldt

Kijk eerst naar het histogram: één bult, ongeveer symmetrisch, geen lange staart. Vergelijk daarna de aandelen in je eigen gegevens met de tabel, zoals hierboven. Een grote overmaat binnen één SD met te veel waarden voorbij drie wijst op zware staarten; een scheef patroon wijst op scheefheid. Voor een formele toets gebruik je de Shapiro-Wilk-calculator of kijk je naar scheefheid en kurtosis.

Veelgestelde vragen

Wat is de empirische regel in de statistiek?

Hij zegt dat in een normale verdeling ongeveer 68% van de waarden binnen één standaarddeviatie van het gemiddelde valt, ongeveer 95% binnen twee en ongeveer 99,7% binnen drie. Het is een snelle manier om te beoordelen hoe ongewoon een waarde is, zonder een z-tabel, en hij heet ook de 68-95-99,7-regel of de driesigmaregel.

Hoe gebruik je de empirische regel?

Bepaal het gemiddelde en de standaarddeviatie, en tel dan één, twee en drie standaarddeviaties op bij en trek ze af van het gemiddelde. Bij een gemiddelde van 72 en een SD van 8 ligt ongeveer 68% van de waarden tussen 64 en 80 en ongeveer 95% tussen 56 en 88. Om een percentage tussen twee waarden te vinden, zet je ze om in afstanden tot het gemiddelde in SD's en tel je de passende stukken op.

Welk percentage ligt tussen het gemiddelde en één standaarddeviatie?

Ongeveer 34%, de helft van de 68% binnen één standaarddeviatie, omdat de normale curve symmetrisch is. Het exacte cijfer is 34,13%. Tussen één en twee standaarddeviaties boven het gemiddelde ligt ongeveer 13,5% (exact 13,59%), en tussen twee en drie ongeveer 2,14%.

Wat is het verschil tussen de empirische regel en de stelling van Chebyshev?

De empirische regel geeft benaderde percentages, maar alleen voor klokvormige, symmetrische gegevens. De stelling van Chebyshev geeft een gegarandeerd minimum voor elke verdeling, 1 − 1 ÷ k², dat veel lager ligt: 75% binnen twee standaarddeviaties in plaats van ongeveer 95%. Gebruik de regel als de gegevens normaal lijken en Chebyshev als je niets over de vorm weet.

Werkt de empirische regel voor niet-normale gegevens?

Alleen ruwweg, en niet voor scheve of zwaarstaartige gegevens. Bij een scheve verdeling zijn de twee staarten ongelijk, dus de symmetrische splitsingen van de regel kloppen niet, en zware staarten leggen meer dan 0,3% van de waarden voorbij drie standaarddeviaties. Controleer eerst de vorm, of val terug op de garantie van Chebyshev.

Waarom is het 99,7% en niet 100%?

De normale curve raakt nul nooit, dus er liggen altijd enkele waarden voorbij drie standaarddeviaties — in totaal ongeveer 0,27%, of 0,13% in elke staart. Daarom behandelt de driesigmaregel een punt voorbij drie SD's als ongewoon, al worden in een grote dataset er toch enkele verwacht.