Calcolatore della Regola Empirica
Inserisci una media e una deviazione standard — oppure incolla i tuoi dati — e ottieni gli intervalli che contengono circa il 68%, il 95% e il 99,7% dei valori, disegnati su una curva a campana ombreggiata e affiancati alle quote normali esatte e ai minimi garantiti di Chebyshev. Se incolli dei dati, il calcolatore conta anche quanti valori cadono davvero dentro. Gratuito, senza registrazione.
Fornisce il conteggio atteso dentro ciascun intervallo.
Aggiunge una riga per la media ± k DS, con la quota normale esatta e il limite di Chebyshev.
Inserisci una media e una deviazione standard maggiore di zero — oppure passa a un elenco di dati — per vedere gli intervalli 68–95–99,7.
Come usare il calcolatore della regola empirica
- 1. Scegli il punto di partenza. Inserisci una media e una deviazione standard, oppure passa a “Un elenco di dati” e incolla i tuoi numeri — il calcolatore trova poi la media e la deviazione standard campionaria per te.
- 2. Aggiungi gli extra facoltativi. Un numero di valori fornisce il conteggio atteso in ciascun intervallo; il tuo numero di DS aggiunge una riga per qualsiasi distanza, come 2,5.
- 3. Leggi gli intervalli. Le tre schede indicano gli intervalli che contengono circa il 68%, il 95% e il 99,7% dei valori, e la curva ombreggiata li mostra annidati.
- 4. Confronta. La tabella affianca la regola alle quote normali esatte e al minimo di Chebyshev, valido per qualsiasi distribuzione. Con i dati incollati, mostra anche quanti dei tuoi valori cadono davvero in ciascun intervallo.
La regola 68–95–99,7
Per i dati che seguono una distribuzione normale, circa il 68% dei valori si trova entro una deviazione standard dalla media, circa il 95% entro due e circa il 99,7% entro tre. Simbolicamente, con media μ e deviazione standard σ, gli intervalli sono μ ± σ, μ ± 2σ e μ ± 3σ. È chiamata anche regola dei tre sigma.
| Intervallo | La regola dice | Quota normale esatta | Ogni coda |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68% | 68,27% | 15,87% |
| μ ± 2σ | 95% | 95,45% | 2,28% |
| μ ± 3σ | 99,7% | 99,73% | 0,13% |
Le quote esatte sono 2Φ(k) − 1, dove Φ è la funzione di ripartizione normale standard. “Ogni coda” è metà di ciò che resta.
La regola è un riepilogo arrotondato, quindi usa le cifre esatte quando conta la precisione — una z di 2 lascia il 2,28% sopra di sé, non il 2,5% che la regola implica. Poiché la curva è simmetrica, la regola si divide anche a metà: circa il 34% dei valori sta tra la media e una deviazione standard sopra di essa, circa il 47,5% tra la media e due, e circa il 49,85% tra la media e tre.
Quando i dati non sono normali: la disuguaglianza di Chebyshev
La regola empirica richiede una distribuzione a campana, all'incirca simmetrica. La disuguaglianza di Chebyshev richiede soltanto una varianza finita: almeno 1 − 1 ÷ k² dei valori sta entro k deviazioni standard dalla media, per qualsiasi distribuzione. È informativa solo oltre una deviazione standard — garantisce almeno il 75% entro 2σ e almeno l'88,89% entro 3σ. Il prezzo della generalità è che si tratta di un minimo, non di una stima; per dati normali le quote vere (95,45% e 99,73%) sono molto più alte.
Esempi svolti
Clicca su “Prova un esempio”: voti d'esame con media 72 e deviazione standard 8, di 1.000 studenti. Circa il 68% dei voti sta tra 72 − 8 = 64 e 72 + 8 = 80; circa il 95% tra 56 e 88; e circa il 99,7% tra 48 e 96. Secondo le quote normali esatte, ci si aspetta che 682,7, 954,5 e 997,3 dei 1.000 cadano in quegli intervalli. Con il k facoltativo di 2,5, l'intervallo va da 52 a 92, e contiene il 98,76% di una distribuzione normale e almeno l'84% di qualsiasi distribuzione.
Ora “Prova un esempio con dati”, 25 voti da 52 a 95. La loro media è 72,08 e la deviazione standard campionaria 9,183, quindi l'intervallo a una deviazione standard va da 62,897 a 81,263. Dei 25 voti, 19 (76%) cadono dentro, 23 (92%) entro due deviazioni standard e tutti i 25 entro tre. È un po' sopra il 68% a una DS e un po' sotto il 95% a due — il tipo di scarto che un campione così piccolo produce per caso, quindi non c'è alcun segno di una vera deviazione dalla normalità.
Verificare se la regola si applica
Guarda prima l'istogramma: una sola gobba, all'incirca simmetrica, senza code lunghe. Poi confronta le quote dei tuoi dati con la tabella, come sopra. Un forte eccesso entro una DS con troppi valori oltre tre segnala code pesanti; una distribuzione sbilanciata segnala asimmetria. Per una verifica formale, usa il calcolatore di Shapiro-Wilk oppure guarda asimmetria e curtosi.
Domande frequenti
- Che cos'è la regola empirica in statistica?
- Afferma che in una distribuzione normale circa il 68% dei valori cade entro una deviazione standard dalla media, circa il 95% entro due e circa il 99,7% entro tre. È un modo rapido per giudicare quanto sia insolito un valore senza una tavola z, e si chiama anche regola 68–95–99,7 o regola dei tre sigma.
- Come si usa la regola empirica?
- Trova la media e la deviazione standard, poi aggiungi e sottrai una, due e tre deviazioni standard dalla media. Per una media di 72 e una DS di 8, circa il 68% dei valori sta tra 64 e 80 e circa il 95% tra 56 e 88. Per trovare una percentuale tra due valori, convertili in distanze dalla media in DS e somma i pezzi corrispondenti.
- Quale percentuale sta tra la media e una deviazione standard?
- Circa il 34%, metà del 68% entro una deviazione standard, perché la curva normale è simmetrica. La cifra esatta è 34,13%. Tra una e due deviazioni standard sopra la media sta circa il 13,5% (esattamente 13,59%), e tra due e tre circa il 2,14%.
- Qual è la differenza tra la regola empirica e il teorema di Chebyshev?
- La regola empirica dà percentuali approssimate, ma solo per dati a campana e simmetrici. Il teorema di Chebyshev dà un minimo garantito per qualsiasi distribuzione, 1 − 1 ÷ k², che è molto più basso: 75% entro due deviazioni standard invece di circa il 95%. Usa la regola quando i dati sembrano normali e Chebyshev quando non sai nulla della forma.
- La regola empirica funziona per dati non normali?
- Solo in modo approssimativo, e non per dati asimmetrici o a code pesanti. In una distribuzione asimmetrica le due code sono disuguali, quindi le suddivisioni simmetriche della regola non valgono, e le code pesanti mettono più dello 0,3% dei valori oltre tre deviazioni standard. Verifica prima la forma, oppure ripiega sulla garanzia di Chebyshev.
- Perché è 99,7% e non 100%?
- La curva normale non tocca mai lo zero, quindi qualche valore resta sempre oltre tre deviazioni standard — circa lo 0,27% in totale, ossia lo 0,13% in ciascuna coda. Per questo la regola dei tre sigma considera insolito un punto oltre tre DS, anche se in un grande insieme di dati alcuni se ne attendono.