Simulatore del teorema del limite centrale

Risultati

1000 campioni, ciascuno la media di 30 estrazioni da questa popolazione — 30.000 estrazioni casuali in tutto. Seme: 2024.

A n = 30 l'asimmetria prevista delle medie campionarie è 0,365: ancora visibilmente asimmetrica, quindi la curva normale è solo un adattamento approssimativo. Un n più grande la avvicina.

Questa è un'illustrazione, non una dimostrazione. Con un numero finito di campioni le barre oscillano di qualche percento intorno alla curva, e un seme diverso le sposta di nuovo.

Come usare il simulatore del teorema del limite centrale

1. 1. Scegli una popolazione. Inizia con quella asimmetrica a destra, poi prova le popolazioni molto asimmetriche, bimodali e sì/no, la cui forma non assomiglia affatto a una campana.
2. 2. Imposta la dimensione campionaria n. Ogni campione è costituito da n estrazioni casuali mediate in un unico numero. Usa i pulsanti rapidi per far passare n da 1, 5, 30 e 100 e osserva come cambia l'istogramma.
3. 3. Imposta il numero di campioni. Ogni campione contribuisce con una media all'istogramma. Più campioni rendono il disegno più liscio, ma non cambiano quanto la distribuzione campionaria sia davvero normale — lo fa solo n.
4. 4. Anima, oppure cambia il seme. L'animazione aggiunge i campioni pochi alla volta, solo quando premi il pulsante. Lo stesso seme riproduce sempre lo stesso disegno; «Nuovo seme casuale» ne sceglie uno diverso.

Che cosa dice il teorema del limite centrale

Estrai n valori indipendenti da una popolazione con media μ finita e deviazione standard σ finita, e calcolane la media. Al crescere di n, la distribuzione di quella media si avvicina a una distribuzione normale con media μ e deviazione standard σ/√n — l'errore standard — qualunque sia la forma della popolazione. La popolazione non diventa normale; diventa normale la distribuzione delle medie campionarie.

La velocità dipende dalla popolazione. Una popolazione simmetrica ci arriva in fretta, una asimmetrica più lentamente. L'asimmetria di una media campionaria è l'asimmetria della popolazione divisa per √n, quindi la tabella del simulatore può prevederla prima ancora di eseguire qualsiasi calcolo:

L'asimmetria non è tutta la storia: la popolazione bimodale ha asimmetria 0 e richiede comunque diverse estrazioni per campione prima che le sue due gobbe si fondano in una sola. La regola comune «n di 30 o più basta» si adatta a dati moderatamente asimmetrici; la popolazione lognormale ha ancora un'asimmetria evidente a n = 100. Il simulatore segnala un adattamento come buono quando l'asimmetria prevista scende sotto 0,25 — una guida approssimativa, non un teorema.

Esempio svolto: popolazione asimmetrica, n = 30

Con le impostazioni predefinite — la popolazione esponenziale (μ = 1, σ = 1), n = 30, 1.000 campioni, seme 2024 — il teorema prevede un errore standard di 1/√30 = 0,1826 e un'asimmetria di 0,3651. Le 1.000 medie campionarie di questa simulazione hanno media 1,008, deviazione standard 0,1835 e asimmetria 0,3448, e il 95,1% di esse cade entro 1,96 errori standard da 1, contro il 95% che darebbe una curva normale.

I numeri stanno vicino alla teoria ma non coincidono, e non dovrebbero: 1.000 campioni sono un numero finito. La simulazione ha prodotto 30.000 estrazioni casuali in tutto; un seme diverso sposta un po' ogni barra. Anche l'asimmetria residua è reale — a n = 30 le medie di una popolazione esponenziale sono ancora leggermente asimmetriche a destra, ed è per questo che il simulatore definisce qui la curva normale un adattamento approssimativo.

Domande frequenti

Che cosa dice il teorema del limite centrale in parole semplici?

Le medie di molte osservazioni indipendenti sono approssimativamente distribuite in modo normale, anche quando le singole osservazioni non lo sono. La media di n valori da una popolazione con media μ e deviazione standard σ ha media μ e deviazione standard σ/√n, e la sua distribuzione assomiglia sempre più a una curva a campana al crescere di n.

Quanto deve essere grande la dimensione campionaria?

Non esiste un numero unico. Per popolazioni approssimativamente simmetriche n da 10 a 15 possono bastare; per popolazioni moderatamente asimmetriche la regola usuale è n di 30; per quelle molto asimmetriche (come la lognormale qui) può servire n di 100 o più. Esegui il simulatore su una popolazione simile alla tua e guarda l'istogramma.

Il teorema rende normale la popolazione?

No. La popolazione conserva la sua forma. Ciò che si avvicina alla normalità è la distribuzione della media campionaria, ed è per questo che i test t e gli intervalli di confidenza per una media funzionano ragionevolmente bene su dati moderatamente non normali, purché n non sia piccolo.

Perché la deviazione standard simulata non è esattamente σ/√n?

Perché la simulazione è un insieme finito di medie campionarie. Con 1.000 campioni la deviazione standard simulata di solito cade entro qualche percento dall'errore standard teorico; aumenta il numero di campioni per stringerla. Un seme diverso dà ogni volta un valore leggermente diverso.

Il teorema del limite centrale vale sempre?

No, quando la popolazione non ha varianza finita, come la distribuzione di Cauchy, la cui media campionaria è variabile quanto una singola osservazione. Presuppone anche estrazioni indipendenti; dati correlati, come misure ripetute sulla stessa persona, convergono più lentamente o per niente.

Che cosa fa il seme, e la casualità è reale?

Le estrazioni sono numeri pseudocasuali generati dal tuo seme, quindi lo stesso seme, la stessa popolazione, lo stesso n e lo stesso numero di campioni danno sempre il medesimo disegno — utile per condividere un esempio. «Nuovo seme casuale» sceglie un seme con il generatore casuale sicuro del tuo browser. Tutto gira nel tuo browser; non viene caricato nulla.