محاكي نظرية النهاية المركزية

النتائج

1,000 عينة، كلٌّ منها متوسط 30 من السحوبات من هذا المجتمع — 30,000 سحبة عشوائية في المجموع. البذرة: 2024.

عند n = 30 يكون الالتواء المتوقع لمتوسطات العينات 0.365: ما زال واضح الالتواء، لذا لا يناسبه المنحنى الطبيعي إلا تناسبًا تقريبيًا. وكلما كبرت n اقترب أكثر.

هذا توضيح لا برهان. فمع عدد محدود من العينات تتذبذب الأعمدة بنسبة بضعة في المئة حول المنحنى، وتغيّرها بذرة أخرى من جديد.

كيفية استخدام محاكي نظرية النهاية المركزية

1. 1. اختر مجتمعًا. ابدأ بالمجتمع المائل نحو اليمين، ثم جرّب المجتمعات المائلة بشدة، وثنائية القمة، ونعم/لا، التي لا تشبه أشكالها الجرس بأي حال.
2. 2. حدّد حجم العينة n. كل عينة هي n من السحوبات العشوائية يُؤخذ متوسطها في عدد واحد. واستخدم الأزرار السريعة لتتدرّج بـ n عبر 1 و5 و30 و100، وشاهد المدرّج التكراري يتغيّر.
3. 3. حدّد عدد العينات. تُسهم كل عينة بمتوسط واحد في المدرّج التكراري. فعدد أكبر من العينات يجعل الصورة أنعم، لكنه لا يغيّر مدى طبيعية توزيع المعاينة فعلًا — فـ n وحدها هي التي تفعل ذلك.
4. 4. حرّك الظهور، أو غيّر البذرة. تضيف الحركة العينات بضعًا منها في كل مرة، ولا تحدث إلا عند الضغط على الزر. والبذرة نفسها تعيد إنتاج الصورة نفسها دائمًا، و«بذرة عشوائية جديدة» تختار بذرة أخرى.

ما الذي تقوله نظرية النهاية المركزية

اسحب n قيمة مستقلة من أي مجتمع له متوسط محدود μ وانحراف معياري محدود σ، واحسب متوسطها. وكلما كبرت n، اقترب توزيع هذا المتوسط من التوزيع الطبيعي بمتوسط μ وانحراف معياري σ/√n — وهو الخطأ المعياري — مهما كان شكل المجتمع. فالمجتمع لا يصبح طبيعيًا؛ بل يصبح توزيع متوسطات العينات كذلك.

ومدى السرعة يعتمد على المجتمع. فالمجتمع المتماثل يصل بسرعة، والمائل ببطء. والالتواء لمتوسط عينة هو التواء المجتمع مقسومًا على √n، لذا يستطيع جدول المحاكي أن يتنبأ به قبل أن تشغّل شيئًا:

والالتواء ليس القصة كلها: فالمجتمع ثنائي القمة التواؤه صفر، ومع ذلك يحتاج إلى عدة سحوبات في كل عينة قبل أن تندمج قمّتاه في واحدة. والقاعدة الشائعة «إن كانت n تساوي 30 أو أكثر فذلك كافٍ» تناسب البيانات المائلة بقدر معتدل؛ أما المجتمع اللوغ-طبيعي فيبقى له التواء ملحوظ عند n = 100. ويعدّ المحاكي التوافقَ قريبًا حين يقل الالتواء المتوقع عن 0.25 — وهذا دليل تقريبي، لا نظرية.

مثال تطبيقي: مجتمع مائل، و n = 30

بالإعدادات الافتراضية — المجتمع الأُسّي (μ = 1، σ = 1)، و n = 30، و1,000 عينة، والبذرة 2024 — تتنبأ النظرية بخطأ معياري قدره 1/√30 = 0.1826 والتواء قدره 0.3651. ولمتوسطات العينات الألف في هذا التشغيل متوسط قدره 1.008، وانحراف معياري 0.1835، والتواء 0.3448، و95.1% منها تقع ضمن 1.96 خطأ معياري من 1، مقابل 95% يعطيها المنحنى الطبيعي.

الأرقام قريبة من النظرية لكنها ليست عليها، وهذا متوقع: فـ 1,000 عينة تشغيل محدود. وقد أجرى التشغيل 30,000 سحبة عشوائية في المجموع؛ وتحرّك بذرة أخرى كل عمود قليلًا. والالتواء المتبقي حقيقي أيضًا — فعند n = 30 لا تزال متوسطات المجتمع الأُسّي مائلة قليلًا نحو اليمين، ولهذا يسمّي المحاكي المنحنى الطبيعي هنا تناسبًا تقريبيًا.

الأسئلة الشائعة

ماذا تقول نظرية النهاية المركزية بكلمات بسيطة؟

متوسطات العينات الكبيرة من مشاهدات مستقلة تتوزع تقريبًا توزيعًا طبيعيًا، حتى لو لم تكن المشاهدات الفردية كذلك. ومتوسط n قيمة من مجتمع متوسطه μ وانحرافه المعياري σ له متوسط μ وانحراف معياري σ/√n، ويشبه توزيعه منحنى الجرس كلما كبرت n.

كم ينبغي أن يكون حجم العينة؟

لا يوجد رقم واحد. فبالنسبة إلى مجتمعات متماثلة تقريبًا تكفي n بين 10 و15؛ وبالنسبة إلى مجتمعات مائلة بقدر معتدل فالقاعدة المعتادة هي n = 30؛ وبالنسبة إلى مجتمعات مائلة بشدة (مثل اللوغ-طبيعي هنا) قد تلزم n = 100 أو أكثر. شغّل المحاكي على مجتمع يشبه مجتمعك، وانظر إلى المدرّج التكراري.

هل تجعل النظرية المجتمع طبيعيًا؟

لا. يحتفظ المجتمع بشكله. ما يقترب من الطبيعية هو توزيع متوسط العينة، ولهذا تعمل اختبارات t وفترات الثقة للمتوسط بشكل معقول على بيانات غير طبيعية بقدر معتدل، متى لم تكن n صغيرة.

لماذا لا يساوي الانحراف المعياري المحاكى σ/√n بالضبط؟

لأن التشغيل عينة محدودة من متوسطات العينات. ومع 1,000 عينة ينحصر الانحراف المعياري المحاكى عادةً في نطاق بضعة في المئة من الخطأ المعياري النظري؛ زِد عدد العينات لتضييقه. وتعطي بذرة مختلفة قيمة مختلفة قليلًا في كل مرة.

هل تعمل نظرية النهاية المركزية دائمًا؟

لا، حين لا يكون للمجتمع تباين محدود، كما في توزيع كوشي، إذ يكون متوسط عيّنته متغيرًا بقدر مشاهدة واحدة. وهي تفترض أيضًا سحوبات مستقلة؛ فالبيانات المترابطة، مثل القياسات المتكررة على شخص واحد، تتقارب ببطء أكبر أو لا تتقارب أصلًا.

ماذا تفعل البذرة، وهل العشوائية حقيقية؟

السحوبات أرقام شبه عشوائية تولّدها من بذرتك؛ فالبذرة نفسها والمجتمع نفسه وn وعدد العينات نفسها تعطي الصورة نفسها دائمًا، وهذا مفيد لمشاركة مثال. ويختار زر «بذرة عشوائية جديدة» بذرةً بمولّد الأرقام العشوائية الآمن في متصفحك. ويعمل كل شيء في متصفحك؛ ولا يُرفع شيء.