درجة Z، أو الدرجة المعيارية، هي عدد الانحرافات المعيارية التي تقع فوقها قيمة ما أو تحتها عن المتوسط: z = (x − μ) ÷ σ. درجة Z التي تساوي 0 تعني أن القيمة تساوي المتوسط؛ والموجبة فوقه، والسالبة تحته.

كيف أحسب درجة Z من البيانات الخام؟

أوجد متوسط البيانات وانحرافها المعياري، ثم اطرح المتوسط من قيمتك واقسم الناتج على الانحراف المعياري. يقوم وضع مجموعة البيانات في الحاسبة بكل ذلك: الصق الأرقام، وأدخل القيمة، وسترى الحل.

ماذا تعني درجة Z السالبة؟

تعني أن القيمة أقل من المتوسط. فـ z = −1.5 تعني أنها تقع انحرافًا معياريًا ونصفًا تحت المتوسط، وهي المئين 6.68 إذا كانت البيانات طبيعية.

ما درجة Z الجيدة؟

يعتمد ذلك على ما تقيسه. الأعلى أفضل لدرجة اختبار، والأدنى أفضل لزمن سباق. وكقاعدة عامة، القيم خارج ±2 غير معتادة، والقيم خارج ±3 نادرة في البيانات القريبة من الطبيعية.

ما مدى دقة المئين المعروض؟

يأتي من التوزيع الطبيعي المعياري، محسوبًا بتقريب دقته نحو سبع منازل عشرية في الاحتمال، ويُعرض بمنزلتين عشريتين كنسبة مئوية. وهو ذو معنى فقط إذا كانت البيانات قريبة من التوزيع الطبيعي.

هل يستخدم وضع مجموعة البيانات انحراف العينة أم انحراف المجتمع؟

انحراف المجتمع، بالقسمة على n. إذا احتجت إلى نسخة العينة، فاحسب s بشكل منفصل واستخدم وضع القيمة والمتوسط والانحراف المعياري.

حاسبة درجة Z

أدخل قيمة مع المتوسط والانحراف المعياري — أو الصق قائمة أرقام ودع الحاسبة تجدها — لتحصل على درجة Z: عدد الانحرافات المعيارية التي تقع القيمة فوق المتوسط أو تحته. تحصل أيضًا على مئين تقريبي والحل بأرقامك. مجاني ودون تسجيل.

وضع الإدخال

من القيمة والمتوسط والانحراف المعياريمن مجموعة بيانات

القيمة (x)

المتوسط (μ)

الانحراف المعياري (σ)

أدخل قيمة ومتوسطًا وانحرافًا معياريًا أكبر من صفر لعرض درجة Z.

كيفية استخدام حاسبة درجة Z

1. اختر وضع الإدخال. من القيمة والمتوسط والانحراف المعياري يأخذ الأعداد الثلاثة مباشرة. من مجموعة بيانات يأخذ قائمة أرقام والقيمة التي تريد توحيدها قياسيًا.
2. أدخل الأرقام. في الوضع الأول اكتب x وμ وσ (يجب أن يكون σ أكبر من صفر). في وضع مجموعة البيانات الصق رقمين على الأقل مفصولين بفواصل أو مسافات أو أسطر جديدة، وأدخل x.
3. اقرأ النتيجة. تحصل على درجة Z بأربع منازل عشرية، والمئين التقريبي، وفي وضع مجموعة البيانات المتوسط المحسوب والانحراف المعياري وعدد النقاط. وتصف جملة الموقع بالكلمات.
4. تحقق من الحل. يعرض سطر «كيف تم حساب هذا» المعادلة z = (x − μ) ÷ σ بأرقامك، فيمكنك نسخه إلى تقرير.

الصيغة وما تعنيه

z = (x − μ) ÷ σ، حيث x القيمة، وμ المتوسط، وσ الانحراف المعياري. درجة Z بلا وحدة: فهي تقيس المسافة عن المتوسط بوحدات الانحراف المعياري، لذا يمكن مقارنة درجات من مقاييس مختلفة. فـ z = 0 يعني المتوسط تمامًا، و+1 يعني انحرافًا معياريًا فوق المتوسط، و−2 يعني انحرافين تحته.

امتحانان ومقارنة واحدة

الامتحان أ: حصلت على 82؛ وكان متوسط الصف 75 والانحراف المعياري 6

z = (82 − 75) ÷ 6 = 1.1667، المئين ≈ 87.83%

الامتحان ب: حصلت على 78؛ وكان متوسط الصف 70 والانحراف المعياري 5

z = (78 − 70) ÷ 5 = 1.6، المئين ≈ 94.52%

الدرجة 78 هي النتيجة الأقوى، رغم أن 82 درجة خام أعلى

في وضع مجموعة البيانات، الصق 62, 68, 71, 74, 70, 65, 80 و77 وأدخل 85. تجد الحاسبة μ = 70.875 والانحراف المعياري للمجتمع σ = 5.6222، فيكون z = (85 − 70.875) ÷ 5.6222 = 2.5124، أي نحو المئين 99.40.

قراءة درجة Z

درجة Z	المئين (فوق المتوسط / تحته)	القراءة
0	50.00	عند المتوسط تمامًا
+1 / −1	84.13 / 15.87	انحراف معياري واحد عن المتوسط؛ شائع
+1.96 / −1.96	97.50 / 2.50	حدّا الـ95% الوسطى
+2 / −2	97.72 / 2.28	غير معتاد: نحو 4.6% من القيم تقع خارج ±2
+3 / −3	99.87 / 0.13	نادر: نحو 0.27% من القيم تقع خارج ±3

ينطبق المئين فقط إذا كانت البيانات تقريبًا على شكل الجرس. في البيانات المنحرفة لا تزال درجة Z تقيس المسافة بالانحرافات المعيارية، لكن المئين لم يعد يطابقها.

يأتي المئين من دالة التوزيع الطبيعي المعياري، محسوبةً بتقريب Abramowitz and Stegun (الصيغة 7.1.26 لدالة الخطأ، ودقتها نحو 1.5 × 10⁻⁷). اعتبره تقريبيًا، واستخدم جدول Z حين تحتاج إلى قيم البحث القياسية ذات الأربع منازل عشرية.

وضع مجموعة البيانات يستخدم انحراف المجتمع المعياري

حين تلصق بيانات، يكون σ هو الانحراف المعياري للمجتمع (بالقسمة على n)، وهو الاختيار المعتاد عند توحيد القيم قياسيًا داخل المجموعة التي لديك. وإذا كان كتابك يستخدم الانحراف المعياري للعينة s (بالقسمة على n − 1)، فاحسبه من حاسبة الإحصاء وأدخله في وضع القيمة والمتوسط والانحراف المعياري. ومع العينات الكبيرة يكون الفرق صغيرًا. ودرجة Z لمتوسط عينة تستخدم الخطأ المعياري لا الانحراف المعياري، وذلك من اختصاص حاسبة اختبار Z.

أي أداة تحتاج؟

تريد أن…	استخدم
توحّد قيمة واحدة قياسيًا مقابل متوسط وانحراف معياري	حاسبة درجة Z هذه
تبحث عن مساحة أو قيمة حرجة من z	جدول Z
تحوّل إلى درجات T أو IQ أو ستانين أو NCE	محوّل الدرجة المعيارية
تحصل على فترات 68-95-99.7 لمتوسط وانحراف معياري	حاسبة القاعدة التجريبية
تحوّل درجة z إلى قيمة p	حاسبة قيمة p

الأسئلة الشائعة

ما درجة Z؟: درجة Z، أو الدرجة المعيارية، هي عدد الانحرافات المعيارية التي تقع فوقها قيمة ما أو تحتها عن المتوسط: z = (x − μ) ÷ σ. درجة Z التي تساوي 0 تعني أن القيمة تساوي المتوسط؛ والموجبة فوقه، والسالبة تحته.
كيف أحسب درجة Z من البيانات الخام؟: أوجد متوسط البيانات وانحرافها المعياري، ثم اطرح المتوسط من قيمتك واقسم الناتج على الانحراف المعياري. يقوم وضع مجموعة البيانات في الحاسبة بكل ذلك: الصق الأرقام، وأدخل القيمة، وسترى الحل.
ماذا تعني درجة Z السالبة؟: تعني أن القيمة أقل من المتوسط. فـ z = −1.5 تعني أنها تقع انحرافًا معياريًا ونصفًا تحت المتوسط، وهي المئين 6.68 إذا كانت البيانات طبيعية.
ما درجة Z الجيدة؟: يعتمد ذلك على ما تقيسه. الأعلى أفضل لدرجة اختبار، والأدنى أفضل لزمن سباق. وكقاعدة عامة، القيم خارج ±2 غير معتادة، والقيم خارج ±3 نادرة في البيانات القريبة من الطبيعية.
ما مدى دقة المئين المعروض؟: يأتي من التوزيع الطبيعي المعياري، محسوبًا بتقريب دقته نحو سبع منازل عشرية في الاحتمال، ويُعرض بمنزلتين عشريتين كنسبة مئوية. وهو ذو معنى فقط إذا كانت البيانات قريبة من التوزيع الطبيعي.
هل يستخدم وضع مجموعة البيانات انحراف العينة أم انحراف المجتمع؟: انحراف المجتمع، بالقسمة على n. إذا احتجت إلى نسخة العينة، فاحسب s بشكل منفصل واستخدم وضع القيمة والمتوسط والانحراف المعياري.