Калькулятор z-оценки
Вычислите, на сколько стандартных отклонений значение выше или ниже среднего. Введите значение вместе со средним и стандартным отклонением — или вставьте список чисел, и калькулятор найдёт их сам. Вы получите z-оценку, приблизительный процентиль и расчёт с вашими числами. Бесплатно, без регистрации.
Режим ввода
Введите значение, среднее и стандартное отклонение больше нуля, чтобы увидеть z-оценку.
Как пользоваться калькулятором z-оценки
- 1. Выберите режим ввода. Из значения, среднего и SD принимает три числа напрямую. Из набора данных принимает список чисел и значение, которое нужно стандартизировать.
- 2. Введите числа. В первом режиме введите x, μ и σ (σ должно быть больше нуля). В режиме набора данных вставьте минимум два числа, разделённых запятыми, пробелами или новыми строками, и введите x.
- 3. Прочитайте результат. Вы получите z-оценку с четырьмя знаками после запятой и приблизительный процентиль; в режиме набора данных также вычисленное среднее, стандартное отклонение и количество значений. Фраза словами описывает положение значения.
- 4. Проверьте расчёт. Строка «Как это было вычислено» показывает z = (x − μ) ÷ σ с вашими числами, и её можно скопировать в отчёт.
Формула и её смысл
z = (x − μ) ÷ σ, где x — значение, μ — среднее, а σ — стандартное отклонение. Z-оценка безразмерна: она измеряет расстояние от среднего в стандартных отклонениях, поэтому оценки по разным шкалам можно сравнивать. Z, равное 0, — ровно среднее, +1 — на одно стандартное отклонение выше, а −2 — на два ниже.
Два экзамена, одно сравнение
Экзамен A: вы получили 82; среднее по классу было 75, SD — 6
z = (82 − 75) ÷ 6 = 1,1667, процентиль ≈ 87,83%
Экзамен B: вы получили 78; среднее по классу было 70, SD — 5
z = (78 − 70) ÷ 5 = 1,6, процентиль ≈ 94,52%
Результат 78 сильнее, хотя 82 — более высокий сырой балл
В режиме набора данных вставьте 62, 68, 71, 74, 70, 65, 80 и 77 и введите 85. Калькулятор находит μ = 70,875 и σ генеральной совокупности = 5,6222, поэтому z = (85 − 70,875) ÷ 5,6222 = 2,5124, примерно 99,40-й процентиль.
Как читать z-оценку
| Z-оценка | Процентиль (выше / ниже среднего) | Что это значит |
|---|---|---|
| 0 | 50,00-й | Точно на среднем |
| +1 / −1 | 84,13-й / 15,87-й | Одно стандартное отклонение от среднего; встречается часто |
| +1,96 / −1,96 | 97,50-й / 2,50-й | Границы середины 95% значений |
| +2 / −2 | 97,72-й / 2,28-й | Необычно: примерно 4,6% значений лежат за пределами ±2 |
| +3 / −3 | 99,87-й / 0,13-й | Редко: примерно 0,27% значений лежат за пределами ±3 |
Процентиль применим, только если данные примерно колоколообразны. Для асимметричных данных z-оценка по-прежнему измеряет расстояние в стандартных отклонениях, но процентиль уже не совпадает.
Процентиль получен из стандартной нормальной функции распределения, вычисленной по приближению Абрамовица и Стигана (формула 7.1.26 для функции ошибок, точность около 1,5 × 10⁻⁷). Считайте его приблизительным, а когда нужны стандартные табличные значения с четырьмя знаками, используйте Z-таблицу.
В режиме набора данных используется SD генеральной совокупности
Когда вы вставляете данные, σ — стандартное отклонение генеральной совокупности (деление на n), что обычно и нужно при стандартизации значений внутри имеющейся группы. Если в вашем учебнике используется выборочное стандартное отклонение s (деление на n − 1), получите его в Калькуляторе статистики и введите в режиме значение/среднее/SD. Для больших выборок разница невелика. Z-оценка для выборочного среднего использует стандартную ошибку, а не SD — это задача для Калькулятора z-теста.
Какой инструмент вам нужен?
| Вам нужно | Используйте |
|---|---|
| Стандартизировать одно значение по среднему и SD | Этот калькулятор z-оценки |
| Найти площадь или критическое значение по z | Z-таблица |
| Перевести в T-оценки, IQ, стэнайны или NCE | Конвертер стандартных оценок |
| Получить интервалы 68–95–99,7 для среднего и SD | Калькулятор эмпирического правила |
| Перевести z-оценку в p-значение | Калькулятор p-значения |
Часто задаваемые вопросы
- Что такое z-оценка?
- Z-оценка, или стандартная оценка, — это число стандартных отклонений, на которое значение выше или ниже среднего: z = (x − μ) ÷ σ. Z, равное 0, означает, что значение равно среднему; положительные значения выше него, отрицательные — ниже.
- Как вычислить z-оценку из исходных данных?
- Найдите среднее и стандартное отклонение данных, затем вычтите среднее из вашего значения и разделите на стандартное отклонение. Режим набора данных делает всё сам: вставьте числа, введите значение, и калькулятор покажет расчёт.
- Что означает отрицательная z-оценка?
- Значение ниже среднего. Z, равное −1,5, означает, что значение на 1,5 стандартного отклонения ниже среднего, что при нормальном распределении соответствует 6,68-му процентилю.
- Что такая хорошая z-оценка?
- Это зависит от того, что вы измеряете. Чем выше, тем лучше для результата теста и чем ниже — для времени в забеге. Как ориентир: значения за пределами ±2 необычны, а за пределами ±3 редки в примерно нормальных данных.
- Насколько точен показанный процентиль?
- Он получен из стандартного нормального распределения с приближением, точным примерно до семи знаков после запятой по вероятности, а затем показан с двумя знаками в процентах. Он имеет смысл, только если данные примерно нормально распределены.
- Режим набора данных использует выборочное или генеральное стандартное отклонение?
- Генеральное стандартное отклонение, с делением на n. Если нужна выборочная версия, вычислите s отдельно и используйте режим значение/среднее/SD.