Simulator Teorema Limit Pusat

Hasil

1.000 sampel, masing-masing rata-rata dari 30 pengambilan dari populasi ini — 30.000 pengambilan acak secara total. Seed: 2024.

Pada n = 30, kemencengan yang diprediksi dari rata-rata sampel adalah 0,365: masih miring secara jelas, sehingga kurva normal hanya kecocokan kasar. n yang lebih besar akan membuatnya lebih dekat.

Ini adalah ilustrasi, bukan pembuktian. Dengan jumlah sampel yang terbatas, batang bergoyang beberapa persen di sekitar kurva, dan seed yang berbeda menggesernya lagi.

Cara Menggunakan Simulator Teorema Limit Pusat

1. 1. Pilih populasi. Mulailah dengan populasi yang miring ke kanan, lalu coba populasi yang sangat miring, bimodal, dan ya/tidak, yang bentuknya sama sekali tidak menyerupai lonceng.
2. 2. Atur ukuran sampel n. Setiap sampel adalah n pengambilan acak yang dirata-ratakan menjadi satu angka. Gunakan tombol cepat untuk mengatur n menjadi 1, 5, 30, dan 100, lalu lihat histogramnya berubah.
3. 3. Atur jumlah sampel. Setiap sampel menyumbang satu rata-rata ke histogram. Lebih banyak sampel membuat gambarnya lebih halus, tetapi tidak mengubah seberapa normal distribusi sampling yang sebenarnya — hanya n yang melakukan itu.
4. 4. Animasikan, atau ganti seed. Animasi menambahkan sampel beberapa sekaligus, hanya ketika Anda menekan tombolnya. Seed yang sama selalu menghasilkan gambar yang sama; “Seed acak baru” memilih seed yang berbeda.

Apa yang Dikatakan Teorema Limit Pusat

Ambil n nilai independen dari populasi mana pun dengan rata-rata μ yang berhingga dan simpangan baku σ yang berhingga, lalu rata-ratakan. Seiring bertambahnya n, distribusi rata-rata itu mendekati distribusi normal dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ/√n — galat baku — apa pun bentuk populasinya. Populasi tidak menjadi normal; distribusi rata-rata sampel yang menjadi normal.

Seberapa cepat hal itu terjadi bergantung pada populasinya. Populasi yang simetris mencapainya dengan cepat, sedangkan populasi yang miring lambat. Kemencengan dari rata-rata sampel adalah kemencengan populasi dibagi √n, sehingga tabel simulator dapat memprediksinya sebelum Anda menjalankan apa pun:

Kemencengan bukan keseluruhan cerita: populasi bimodal memiliki kemencengan 0 dan tetap membutuhkan beberapa pengambilan per sampel sebelum kedua puncaknya menyatu menjadi satu. Aturan umum “n sebesar 30 atau lebih sudah cukup” cocok untuk data yang agak miring; populasi lognormal tetap memiliki kemencengan yang terlihat pada n = 100. Simulator menandai kecocokan sebagai dekat setelah kemencengan yang diprediksi turun di bawah 0,25 — panduan kasar, bukan teorema.

Contoh Kasus: Populasi Miring, n = 30

Dengan pengaturan bawaan — populasi eksponensial (μ = 1, σ = 1), n = 30, 1.000 sampel, seed 2024 — teorema memprediksi galat baku sebesar 1/√30 = 0,1826 dan kemencengan 0,3651. Seribu rata-rata sampel dari percobaan ini memiliki rata-rata 1,008, simpangan baku 0,1835, dan kemencengan 0,3448, serta 95,1% dari rata-rata itu berada dalam 1,96 galat baku dari 1, dibandingkan dengan 95% yang akan diberikan kurva normal.

Angkanya dekat dengan teori tetapi tidak tepat sama, dan memang seharusnya begitu: 1.000 sampel adalah percobaan yang terbatas. Percobaan ini membuat 30.000 pengambilan acak secara total; seed yang berbeda menggeser setiap batang sedikit. Kemencengan sisa juga nyata — pada n = 30, rata-rata dari populasi eksponensial masih sedikit miring ke kanan, itulah sebabnya simulator menyebut kurva normal sebagai kecocokan kasar di sini.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa yang dikatakan teorema limit pusat dengan kata-kata sederhana?

Rata-rata dari banyak observasi independen kira-kira berdistribusi normal, bahkan ketika setiap observasinya tidak. Rata-rata dari n nilai dari populasi dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ memiliki rata-rata μ dan simpangan baku σ/√n, dan bentuknya semakin menyerupai kurva lonceng seiring bertambahnya n.

Seberapa besar ukuran sampel yang dibutuhkan?

Tidak ada satu angka pun. Untuk populasi yang kurang lebih simetris, n sebesar 10 sampai 15 bisa cukup; untuk populasi yang agak miring, n sebesar 30 adalah aturan yang lazim; untuk populasi yang sangat miring (seperti lognormal di sini), n sebesar 100 atau lebih mungkin dibutuhkan. Jalankan simulator pada populasi yang mirip dengan populasi Anda dan lihat histogramnya.

Apakah teorema ini membuat populasinya normal?

Tidak. Populasi tetap mempertahankan bentuknya. Yang mendekati normal adalah distribusi rata-rata sampel, itulah sebabnya uji-t dan interval kepercayaan untuk rata-rata bekerja cukup baik pada data yang agak tidak normal ketika n tidak kecil.

Mengapa simpangan baku simulasi saya tidak tepat σ/√n?

Karena percobaan ini adalah sampel terbatas dari rata-rata sampel. Dengan 1.000 sampel, simpangan baku simulasi umumnya berada dalam beberapa persen dari galat baku teoretis; tingkatkan jumlah sampel untuk mempersempitnya. Seed yang berbeda memberikan nilai yang sedikit berbeda setiap kali.

Apakah teorema limit pusat selalu berlaku?

Tidak jika populasinya tidak memiliki varians yang berhingga, seperti distribusi Cauchy, yang rata-rata sampelnya sama variabelnya dengan satu observasi tunggal. Teorema ini juga mengasumsikan pengambilan yang independen; data yang berkorelasi, seperti pengukuran berulang pada satu orang, konvergen lebih lambat atau tidak sama sekali.

Apa fungsi seed, dan apakah keacakannya nyata?

Pengambilan adalah bilangan pseudo-acak yang dihasilkan dari seed Anda, sehingga seed, populasi, n, dan jumlah sampel yang sama selalu menghasilkan gambar yang identik — berguna untuk membagikan contoh. “Seed acak baru” memilih seed dengan generator acak yang aman dari peramban Anda. Semuanya berjalan di peramban Anda; tidak ada yang diunggah.