中心極限定理シミュレーター
母集団、標本の大きさn、標本の数を選ぶと、標本平均の分布が形づくられる様子が見られます。定理が予測する正規曲線が重ねて描かれ、理論と今回の実行結果が並べて示されます。乱数の種を使うので図を再現でき、必要なときにアニメーションで表示できます。計算はブラウザ内で行われ、データはアップロードされません。無料で、登録は不要です。
1～1,000。1、5、30、100の順に試してください。
10～20,000。標本数×nは最大2,000,000回の抽出までです。
同じ種なら常に同じ図になります。任意の文字列を使えます。
結果
1,000個の標本。いずれも、この母集団から30回の無作為抽出をした平均です（合計30,000回の無作為抽出回）。種：2024。
母集団
母集団の平均 μ = 1、標準偏差 σ = 1、歪度 2。
標本平均
1,000個の標本平均（各n = 30）。曲線は定理が予測する正規分布です：平均 1、標準誤差 0.1826。
標準誤差の4倍を超える標本平均が1個あり、描画していません。
| 指標 | 理論 | 今回の実行 |
|---|---|---|
| 標本平均の平均（μ） | 1 | 1.008 |
| 標本平均の標準偏差（σ/√n） | 0.1826 | 0.1835 |
| 標本平均の歪度 | 0.3651 | 0.3448 |
| ±1.96 SE 以内の割合（正規分布では95%） | 95.0% | 95.1% |
n = 30 では、標本平均の予測歪度は 0.365 で、まだはっきり歪んでいます。正規曲線は大まかな近似にすぎません。nを大きくすると、より近づきます。
これは証明ではなく例示です。標本数が有限なので、棒は曲線の周りで数パーセント揺れ、別の種ではまた変わります。
中心極限定理シミュレーターの使い方
- 1. 母集団を選びます。 まず右に歪んだ母集団から始め、次に強く歪んだもの、双峰、はい／いいえの母集団を試してください。いずれも釣鐘型とはまったく違う形をしています。
- 2. 標本の大きさnを設定します。 各標本は、n個の無作為抽出の値を平均して1つの数にしたものです。クイックボタンでnを1、5、30、100と変えて、ヒストグラムの変化を見てください。
- 3. 標本の数を設定します。 各標本はヒストグラムに1つの平均を加えます。標本数を増やすと図はなめらかになりますが、標本平均の分布がどれだけ正規に近いかは変わりません。それを変えられるのはnだけです。
- 4. アニメーションを使うか、乱数の種を変えます。 アニメーションは、ボタンを押したときだけ標本を数個ずつ追加して表示します。同じ種を使えば、同じ図が再現されます。「新しい乱数の種」を押すと、別の種が選ばれます。
中心極限定理が述べること
有限の平均μと有限の標準偏差σをもつ任意の母集団から、独立したn個の値を抽出して平均するとします。nが大きくなるにつれて、その平均の分布は、母集団の形によらず、平均μ、標準偏差σ/√nの正規分布に近づきます。σ/√nは標準誤差です。母集団が正規分布になるわけではありません。変わるのは標本平均の分布です。
どれくらい速く近づくかは母集団によります。対称な母集団は速く近づき、歪んだ母集団は遅く近づきます。標本平均の歪度は、母集団の歪度を√nで割ったものなので、シミュレーターの表は、実行する前にそれを予測できます。
| 母集団 | n = 1 | n = 5 | n = 30 | n = 100 |
|---|---|---|---|---|
| 正規分布または一様分布 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| はい／いいえ（p = 0.2） | 1.500 | 0.671 | 0.274 | 0.150 |
| 右に歪んだ分布（指数分布） | 2.000 | 0.894 | 0.365 | 0.200 |
| 強く右に歪んだ分布（対数正規分布） | 6.185 | 2.766 | 1.129 | 0.618 |
歪度だけがすべてではありません。双峰分布は歪度が0ですが、2つの山が1つにまとまるまでには、それでも1標本あたり数回の抽出が必要です。「nが30以上あれば十分」という一般的な規則は、中程度に歪んだデータには適していますが、対数正規母集団はn = 100でも目立った歪みが残ります。シミュレーターは、予測される歪度が0.25を下回ったときに、近いと判定します。これは目安であり、定理ではありません。
具体例：歪んだ母集団、n = 30
初期設定では、指数分布の母集団（μ = 1、σ = 1）、n = 30、標本数1,000、種2024を使います。定理は、標準誤差を1/√30 = 0.1826、歪度を0.3651と予測します。この実行の1,000個の標本平均は、平均1.008、標準偏差0.1835、歪度0.3448で、そのうち95.1%が1の周りの1.96標準誤差以内に入りました。正規曲線が与える95%と比べてください。
数値は理論に近いものの、完全に一致はしません。また、一致しないのが当然です。1,000標本は有限の実行だからです。この実行は全部で30,000回の無作為抽出を行いました。別の種を使えば、すべての棒が少しずつずれます。残っている歪度も現実のものです。n = 30では、指数分布の母集団の平均はまだ少し右に歪んでいるので、シミュレーターはここでの正規曲線を大まかな近似だと呼んでいます。
シミュレーションから公式へ
標準誤差σ/√nは、あなた自身の数値からStandard Error CalculatorとSampling Distribution Calculatorが計算するものです。正規分布の面積はNormal Distribution Calculatorで求められます。
よくある質問
- 中心極限定理を平易に言うと何ですか？
- 個々の観測値が正規分布でなくても、多くの独立した観測値の平均はおおよそ正規分布になります。平均μ、標準偏差σの母集団からn個の値を平均すると、その平均の平均はμ、標準偏差はσ/√nになり、nが大きくなるほど釣鐘型に近づきます。
- 標本の大きさはどれくらい必要ですか？
- 一つの数字で決まるわけではありません。ほぼ対称な母集団ならnが10から15で足りることがあり、中程度に歪んだ母集団では30が通常の目安です。強く歪んだ母集団（ここでの対数正規分布など）では、100以上が必要になることもあります。自分の母集団に近い分布でシミュレーターを実行し、ヒストグラムを見てください。
- 中心極限定理は母集団を正規分布にしますか？
- いいえ。母集団は形を保ちます。正規分布に近づくのは標本平均の分布です。そのため、nが小さすぎなければ、中程度に正規でないデータでも、平均に対するt検定や信頼区間はうまく機能します。
- シミュレーションの標準偏差がσ/√nと正確に一致しないのはなぜですか？
- 今回の実行は、標本平均の有限個の標本だからです。1,000標本なら、シミュレーションの標準偏差は通常、理論上の標準誤差から数パーセント以内に入ります。より正確にするには標本数を増やしてください。種が違えば、値もわずかに変わります。
- 中心極限定理は常に成り立ちますか？
- 母集団の分散が有限でない場合は成り立ちません。コーシー分布がその例で、その標本平均は1個の観測値と同じくらい変動します。また、抽出が独立であることを前提にしています。同じ人から繰り返し測った値のような相関のあるデータでは、収束が遅くなるか、まったく収束しません。
- 種は何をしていて、乱数は本物ですか？
- 抽出は、指定した種から生成される擬似乱数です。そのため、同じ種、母集団、n、標本数を使えば、常に同じ図が得られます。例を共有するときに便利です。「新しい乱数の種」は、ブラウザの安全な乱数生成器で種を選びます。すべてブラウザ内で動作し、データはアップロードされません。