Simulador del teorema central del límite

Resultados

1000 muestras, cada una la media de 30 extracciones de esta población: 30.000 extracciones aleatorias en total. Semilla: 2024.

Con n = 30, la asimetría prevista de las medias muestrales es 0,365: sigue siendo claramente asimétrica, así que la curva normal solo es un ajuste aproximado. Una n mayor la acerca.

Esto es una ilustración, no una demostración. Con un número finito de muestras, las barras oscilan unos pocos puntos porcentuales alrededor de la curva, y otra semilla las desplaza de nuevo.

Cómo usar el simulador del teorema central del límite

1. 1. Elige una población. Empieza con la asimétrica hacia la derecha y prueba después las poblaciones muy asimétricas, bimodal y de sí/no, cuyas formas no se parecen en nada a una campana.
2. 2. Fija el tamaño de muestra n. Cada muestra son n extracciones aleatorias promediadas en un solo número. Usa los botones rápidos para recorrer n con valores de 1, 5, 30 y 100 y ve cómo cambia el histograma.
3. 3. Fija el número de muestras. Cada muestra aporta una media al histograma. Con más muestras el dibujo es más suave, pero no cambia lo normal que es en realidad la distribución muestral: eso solo lo cambia n.
4. 4. Anima la simulación o cambia la semilla. La animación añade las muestras de pocas en pocas, solo cuando pulsas el botón. La misma semilla reproduce siempre el mismo dibujo; «Nueva semilla aleatoria» elige otra.

Qué dice el teorema central del límite

Extrae n valores independientes de cualquier población con media μ y desviación estándar σ finitas, y promédialos. Cuando n crece, la distribución de ese promedio se aproxima a una normal de media μ y desviación estándar σ/√n (el error estándar), sea cual sea la forma de la población. La población no se vuelve normal: lo que se vuelve normal es la distribución de las medias muestrales.

La rapidez depende de la población. Una población simétrica llega deprisa; una asimétrica, despacio. La asimetría de una media muestral es la asimetría de la población dividida entre √n, así que la tabla del simulador puede predecirla antes de que hagas nada:

La asimetría no lo es todo: la población bimodal tiene asimetría 0 y aun así necesita varias extracciones por muestra antes de que sus dos jorobas se fundan en una. La regla habitual de «con 30 o más basta» sirve para datos moderadamente asimétricos; la población lognormal sigue teniendo una asimetría apreciable con n = 100. El simulador marca el ajuste como bueno cuando la asimetría prevista baja de 0,25: una guía aproximada, no un teorema.

Ejemplo desarrollado: población asimétrica, n = 30

Con los valores por defecto (la población exponencial, μ = 1, σ = 1, n = 30, 1.000 muestras y semilla 2024), la teoría predice un error estándar de 1/√30 = 0,1826 y una asimetría de 0,3651. Las 1.000 medias muestrales de esta simulación tienen una media de 1,008, una desviación estándar de 0,1835 y una asimetría de 0,3448, y el 95,1 % de ellas cae dentro de 1,96 errores estándar de 1, frente al 95 % que daría una curva normal.

Las cifras están cerca de la teoría, pero no sobre ella, y no deberían estarlo: 1.000 muestras es una simulación finita. La simulación hizo 30.000 extracciones aleatorias en total; otra semilla desplaza un poco cada barra. La asimetría residual también es real: con n = 30, las medias de una población exponencial siguen siendo algo asimétricas hacia la derecha, por lo que el simulador llama a la curva normal un ajuste aproximado en este caso.

Preguntas frecuentes

¿Qué dice el teorema central del límite en palabras sencillas?

Los promedios de muchas observaciones independientes se distribuyen aproximadamente de forma normal, aunque las observaciones individuales no lo sean. El promedio de n valores de una población con media μ y desviación estándar σ tiene media μ y desviación estándar σ/√n, y su distribución se parece más a una curva de campana a medida que n crece.

¿Qué tamaño de muestra necesito?

No hay un número único. Para poblaciones más o menos simétricas puede bastar con n de 10 a 15; para las moderadamente asimétricas suele usarse n de 30; para las muy asimétricas (como la lognormal de aquí) puede hacer falta n de 100 o más. Prueba el simulador con una población parecida a la tuya y mira el histograma.

¿El teorema vuelve normal a la población?

No. La población conserva su forma. Lo que se aproxima a la normalidad es la distribución de la media muestral, por eso las pruebas t y los intervalos de confianza para una media funcionan razonablemente bien con datos moderadamente no normales cuando n no es pequeño.

¿Por qué mi desviación estándar simulada no es exactamente σ/√n?

Porque la simulación es una muestra finita de medias muestrales. Con 1.000 muestras, la desviación estándar simulada suele quedar a pocos puntos porcentuales del error estándar teórico; para afinar más, aumenta el número de muestras. Una semilla distinta da un valor algo diferente cada vez.

¿Siempre funciona el teorema central del límite?

No cuando la población no tiene varianza finita, como la distribución de Cauchy, cuya media muestral varía tanto como una sola observación. También supone extracciones independientes; los datos correlacionados, como las medidas repetidas sobre una misma persona, convergen más despacio o no convergen.

¿Qué hace la semilla, y es real la aleatoriedad?

Las extracciones son números pseudoaleatorios generados a partir de tu semilla, así que la misma semilla, población, n y número de muestras dan siempre exactamente el mismo dibujo, útil para compartir un ejemplo. «Nueva semilla aleatoria» elige una semilla con el generador aleatorio seguro de tu navegador. Todo se ejecuta en tu navegador; no se sube nada.