Symulator centralnego twierdzenia granicznego

Wyniki

1000 prób, każda to średnia z 30 losowań z tej populacji — łącznie 30 000 losowań. Ziarno: 2024.

Dla n = 30 przewidywana skośność średnich z prób wynosi 0,365: nadal wyraźnie skośna, więc krzywa normalna jest tylko przybliżeniem. Większe n zbliży ją do rozkładu normalnego.

To ilustracja, a nie dowód. Przy skończonej liczbie prób słupki drgają o kilka procent wokół krzywej, a inne ziarno przesuwa je ponownie.

Jak korzystać z symulatora centralnego twierdzenia granicznego

1. 1. Wybierz populację. Zacznij od populacji skośnej w prawo, a potem wypróbuj populacje silnie skośne, dwumodalne i tak/nie, których kształty w ogóle nie przypominają dzwonu.
2. 2. Ustaw liczebność próby n. Każda próba to n losowań uśrednianych w jedną liczbę. Przyciski szybkich rozmiarów pozwalają przejść przez n = 1, 5, 30 i 100 i obserwować, jak zmienia się histogram.
3. 3. Ustaw liczbę prób. Każda próba dokłada jedną średnią do histogramu. Więcej prób wygładza obraz, ale nie zmienia tego, jak normalny jest naprawdę rozkład z próbkowania — robi to tylko n.
4. 4. Animuj lub zmień ziarno. Animacja dodaje próby po kilka naraz, dopiero po naciśnięciu przycisku. To samo ziarno zawsze odtwarza ten sam obraz; „Nowe losowe ziarno” wybiera inne.

Co mówi centralne twierdzenie graniczne

Wylosuj n niezależnych wartości z dowolnej populacji o skończonej średniej μ i skończonym odchyleniu standardowym σ, a potem je uśrednij. Wraz ze wzrostem n rozkład tej średniej zbliża się do rozkładu normalnego o średniej μ i odchyleniu standardowym σ/√n — błędzie standardowym — niezależnie od kształtu populacji. Populacja nie staje się normalna; normalny staje się rozkład średnich z prób.

Tempo zależy od populacji. Populacja symetryczna dociera tam szybko, skośna wolno. Skośność średniej z próby to skośność populacji podzielona przez √n, więc tabela symulatora może ją przewidzieć jeszcze przed uruchomieniem:

Skośność to nie cała historia: populacja dwumodalna ma skośność 0 i mimo to wymaga kilku losowań na próbę, zanim jej dwa garby się połączą. Popularna zasada „n równe 30 lub więcej wystarcza” dotyczy umiarkowanie skośnych danych; populacja lognormalna nadal ma zauważalną skośność przy n = 100. Symulator uznaje dopasowanie za bliskie, gdy przewidywana skośność spadnie poniżej 0,25 — to przybliżona wskazówka, a nie twierdzenie.

Przykład krok po kroku: populacja skośna, n = 30

Przy domyślnych ustawieniach — populacja wykładnicza (μ = 1, σ = 1), n = 30, 1 000 prób, ziarno 2024 — twierdzenie przewiduje błąd standardowy 1/√30 = 0,1826 i skośność 0,3651. Tysiąc średnich z prób w tym przebiegu ma średnią 1,008, odchylenie standardowe 0,1835 i skośność 0,3448, a 95,1% z nich leży w granicach 1,96 błędu standardowego od 1, wobec 95%, jakie dałaby krzywa normalna.

Liczby leżą blisko teorii, ale nie na niej — i nie powinny: 1 000 prób to skończony przebieg. W sumie wykonano 30 000 losowań, a inne ziarno przesuwa każdy słupek nieco. Reszta skośności też jest prawdziwa — przy n = 30 średnie z populacji wykładniczej są nadal lekko skośne w prawo, dlatego symulator nazywa krzywą normalną tutaj jedynie przybliżeniem.

Najczęstsze pytania

Co centralne twierdzenie graniczne mówi prostymi słowami?

Średnie z wielu niezależnych obserwacji mają w przybliżeniu rozkład normalny, nawet gdy same obserwacje nie są normalne. Średnia z n wartości z populacji o średniej μ i odchyleniu σ ma średnią μ i odchylenie σ/√n, a jej rozkład coraz bardziej przypomina krzywą dzwonową wraz ze wzrostem n.

Jak duża musi być liczebność próby?

Nie ma jednej liczby. Dla populacji w przybliżeniu symetrycznych wystarcza n od 10 do 15; dla umiarkowanie skośnych zwykle stosuje się n = 30; dla silnie skośnych (jak lognormalna tutaj) może być potrzebne n = 100 lub więcej. Uruchom symulator na populacji podobnej do Twojej i spójrz na histogram.

Czy twierdzenie czyni populację normalną?

Nie. Populacja zachowuje swój kształt. Do normalności zbliża się rozkład średniej z próby, dlatego testy t i przedziały ufności dla średniej działają w miarę dobrze na umiarkowanie nienormalnych danych, gdy n nie jest małe.

Dlaczego moje symulowane odchylenie standardowe nie jest dokładnie równe σ/√n?

Bo przebieg to skończona próba średnich z prób. Przy 1 000 prób symulowane odchylenie zwykle mieści się w granicach kilku procent od teoretycznego błędu standardowego; zwiększ liczbę prób, aby je zawęzić. Inne ziarno daje za każdym razem nieco inną wartość.

Czy centralne twierdzenie graniczne zawsze działa?

Nie wtedy, gdy populacja nie ma skończonej wariancji, jak rozkład Cauchy'ego, którego średnia z próby jest tak samo zmienna jak pojedyncza obserwacja. Zakłada też niezależne losowania; dane skorelowane, na przykład wielokrotne pomiary tej samej osoby, zbiegają wolniej lub wcale.

Co robi ziarno i czy losowość jest prawdziwa?

Losowania to liczby pseudolosowe generowane z Twojego ziarna, więc to samo ziarno, populacja, n i liczba prób zawsze dają identyczny obraz — przydatne, gdy chcesz pokazać przykład innym. „Nowe losowe ziarno” wybiera ziarno za pomocą bezpiecznego generatora przeglądarki. Wszystko działa w przeglądarce; nic nie jest przesyłane.